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∫ x senx cosx dx =

recordémos la fórmula del ángulo doble:

sen(2x) = 2senx cosx

luego:

senx cosx = (1/2)sen(2x)

por tanto la integral se vuelve:

∫ x (1/2)sen(2x) dx =

(llevemos fuera la constante)

(1/2) ∫ x sen(2x) dx =

sea:

x = u → dx = du

sen(2x) dx = dv → (-1/2)cos(2x) = v

integrémos por partes obteniendo:

∫ u dv = v u - ∫ v du

(1/2) ∫ x sen(2x) dx = (1/2) [(-1/2)cos(2x) x - ∫ (-1/2)cos(2x) dx] =

(1/2) [(-1/2)x cos(2x) + (1/2) ∫ cos(2x) dx] =

- (1/4)x cos(2x) + (1/4) ∫ cos(2x) dx =

- (1/4)x cos(2x) + (1/4) (1/2)sen(2x) + C =

luego, en conclusión:

∫ x senx cosx dx = - (1/4)x cos(2x) + (1/8)sen(2x) + C

espero que sea de ayuda...

¡Saludos!

Esas integrales siempre las resuelvo mejor por variable compleja. Recordando que:

cos(x)=(e^(i*x)+e^(-i*x))/2 y

sen(x)=(e^(i*x)-e^(-i*x))/2i

Solo sustituye, resuelve y sustituye de regreso.