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I = S Sec^7 x. dx

I = S Sec^5 x . ( Sec^2 x dx )

Primeramente integramos por partes tal que :

d u = Sec^2 x dx ................. u = Tan x

v = Sec ^5 x ................. d v = 5 . Sec^5 x. Tan x dx

I = ( Tan x. Sec ^5 x ) - 5. S Sec^5 x. Tan^2 x . dx

I = ( Tan x. Sec ^5 x ) - 5. S Sec^5 x.. ( Sec^2 x - 1 ) .dx

I = ( Tan x. Sec ^5 x ) - 5 .I + 5. S Sec^5 x. dx

I = [ Tan x. Sec ^5 x + 5. S Sec^5 x. dx ] / 6 ......... ( 1 )

Ahora necesitamos saber el valor de S Sec^5 x. dx a la cual llamaremos I 1

I 1 = S Sec^5 x. dx

Integramos por partes tal que :

d u = Sec^2 x dx ................. u = Tan x

v = Sec ^3 x ................. d v = 3 . Sec^3 x. Tan x dx

I 1 = ( Tan x. Sec ^3 x ) - 3. S Sec^3 x. Tan^2 x . dx

I 1 = ( Tan x. Sec ^3 x ) - 3. S Sec^3 x.. ( Sec^2 x - 1 ) .dx

I 1 = ( Tan x. Sec ^3 x ) - 3. I 1 + 3. S Sec^5 x. dx

I 1 = [ Tan x. Sec ^3 x + 3. S Sec^3 x. dx ] / 4 ......... ( 2 )

Finalmente para resolver el problema solo nos falta saber la

S Sec^3 x. dx a la cual llamaremos I 2

I 2 = S Sec^3 x. dx

También integramos por partes, tal que:

d u = Sec^2 x dx ................. u = Tan x

v = Sec x ................. d v = Sec x. Tan x dx

I 2 = ( Tan x. Sec x ) - S Sec x. Tan^2 x . dx

I 2 = ( Tan x. Sec x ) - . S Sec x.. ( Sec^2 x - 1 ) .dx

I 2 = ( Tan x. Sec x ) - I 2 + S Sec x. dx

I 2 = [ Tan x. Sec x + Ln l Sec x + Tan x l ] / 2 ......... ( 3 )

Reemplazando ( 3 ) en ( 2 )

I 1 = [ 2.Tan x.Sec^3 x + 3.Tanx.Sec x + 3.Ln l Sec x + Tan x l ] / 8

............................................ ( 4 )

Reemplazando ( 4 ) en ( 1 )

I = S Sec^7 x. dx

I =[8.Tanx. Sec^5 x +10.Tan x.Sec^3 x +15.Tanx.Sec x+15 .Ln l Sec x + Tan x l]/48 +C

............................................................ Respuesta