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Saludos.

te explicare brevemente.

trigonometricamente tenemos una expresion la cual es de gran importancia:

tan(x/2) = [1 - cos(x)]/sen(x) = sen(x)/[1 + cos(x)]

gracias a estas expresion podemos transformar sen(x) y cos(x) en funcion de tan(x/2). Al despejar sen(x) y cos(x) queda de la sig forma:

sen(x) = 2tan(x/2)/[1 + tan²(x/2)]

cos(x) = [1 - tan²(x/2)]/[1 + tan²(x/2)]

Asi que podemos manupular estas igualdades para transformar expresiones trigonometricas a expresiones algebraicas, este metodo es uno de las tantas transformaciones trigonometricas.

En calculo integral se utiliza mucho estas sustituciones, para resolver integrales trigonometricas con una considerable dificultad:

haremos:

u = tan(x/2)

extraeremos la diferencial dx:

du/dx = d[tan(x/2)]/dx

du/dx = sec²(x/2)d(x/2)/dx

du = ½sec²(x/2)dx

usaremos sec²(α) = 1 + tan²(α) :

du = ½[1 + tan²(x/2)]dx

2du = [1 + tan²(x/2)]dx

dx = 2du/[1 + tan²(x/2)]

de esta manera como u = tan(x/2) :

dx = 2du/(1 + u²)

asi tambien aplicaremos u = tan(x/2) en:

sen(x) = 2tan(x/2)/[1 + tan²(x/2)]

cos(x) = [1 - tan²(x/2)]/[1 + tan²(x/2)]

sen(x) = 2u/(1 + u²)

cos(x) = (1 - u²)/(1 + u²)

por tanto la sustitucion queda como:

u = tan(x/2)

dx = 2du/(1 + u²)

sen(x) = 2u/(1 + u²)

cos(x) = (1 - u²)/(1 + u²)

ejemplo:

∫[1/[3 - cos(x)]]dx

haremos la sustitucion, cos(x) = (1 - u²)/(1 + u²) y dx = 2du/(1 + u²) son los elementos a sustituir:

∫[1/[3 - cos(x)]]dx =

∫[1/[3 - (1 - u²)/(1 + u²)]][2du/(1 + u²)] =

∫[[2du/(1 + u²)]/[[3(1 + u²) - (1 - u²)]/(1 + u²)] =

∫[(2du)/(3 + 3u² - 1 + u²)] =

∫[(2du)/(2 + 4u²)] =

½∫[1/(½ + u²)]du =

haremos sustitucion trigonometrica para resolver:

u = (1/√(2))tan(θ)

du = (1/√(2))sec²(θ)dθ

√(½ + u²) = (1/√(2))sec(θ)

½∫[1/(½ + u²)]du =

½∫[1/½sec²(θ)][(1/√(2))sec²(θ)dθ] =

(1/√(2))∫dθ =

(1/√(2))θ + C =

depejamos "θ" de la ecuacion u = (1/√(2))tan(θ) y la sustituimos :

(1/√(2))θ + C =

(1/√(2))arctan(u√(2)) + C =

restauramos u = tan(x/2):

(1/√(2))arctan(u√(2)) + C =

(1/√(2))arctan(√(2)tan(x/2)) + C

de esta manera queda resulta la integral:

∫[1/[3 - cos(x)]]dx = (1/√(2))arctan(√(2)tan(x/2)) + C

De esta manera se aplica la sustitucion tan(x/2)

Espero haya sido de ayuda.