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en el problema observamos que la derivada del componente x^3 es el numerador, podemos hacer un cambio de variable para verlo mejor:

X^3+8 = a y 3x^2dx = da vemos que hay una similitud con el problema

entonces en el problema dividimos y multiplicamos por "3"

4/3(integral(3x^2dx)/raiz(x^3+8))

=4/3integral(da)/raiz(a) =4/3 ∫a-½da = 4/3*2a½+c reemplazando el "a"

I = 8/3(x^3+8)½+c

I=8/3√(x^3+8) + c.

Supondré que es así:

∫ ( (4x^2) / √(x^3 + 8) ) dx

Fíjate que en el denominador tenemos x^3 y una constante. Y en el numerador tenemos x^2, que vendría a ser 1/3 del diferencial de x^3. Perfectamente podemos tomar x^3 + 8 como una nueva variable U, que derivada sería 3x^2. Por ahora, sacaremos el 4 de la integral ya que estorba:

= 4 ∫ ( (x^2) / √(x^3 + 8) ) dx

Llamemos u a la nueva variable, tal que u = x^3 + 8.

Al hacer cambio de variable, se cambia el diferencial. Por lo que du = 3x^2.

Como no tenemos un 3, haremos el truco de multiplicar y dividir por 3. Dejamos un 3 arriba para efectos de diferencial, y el otro lo sacamos como constante. Tendremos algo así:

= (4/3) ∫ ( du / √u )

La integral que nos queda es sencilla, y es igual a 2√u. Nos queda:

= (4/3) * (2√u) + C (JAMÁS TE OLVIDES DE LA CONSTANTE. No tengo idea de cuantos puntos habremos perdido mis compañeros y yo por este chistecito)

Y por último, regresamos a la variable original:

= (8/3) * √(x^3 + 8) + C

Saludos