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1/x - x = 8/3

Multiplicamos a ambos lados por 3x, y queda

3 - 3x² = 8x

-3x² - 8x + 3 = 0

Multiplicando por -3 a ambos lados,

(3x)² + 8(3x) - 9 = 0

Dos números que sumados dan 8 y multiplicados dan -9 son 9 y -1, así que la expresión anterior se factoriza como

(3x + 9)(3x - 1) = 0, y dividiendo el primer factor entre 3,

(x + 3)(3x - 1) = 0.

Así que los valores que cumplen tu condición son x = - 3 y x = 1/3.

Saludos.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x-1/x%3D8/3