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ctg(2x)=cos(2x)/sin(2x)

ctg(pi/2-x)= cos(pi/2-x)/sin(pi/2-x) = [usando le formule di bisezione solo per il numeratore]=

sin(x)/sin(pi/2-x)

percio' il tuo limite sara'

lim x->0 cos(2x) sin(x)/ ( sin(pi/2-x) sin(2x) )

cos(2x) -->1

sin(pi/2-x) -->1

e quindi avrai che il tuo limite diventa

lim x->0 sin(x)/ sin(2x) = [dividendo e moltiplicando per x] =

= lim x->0 ( sin(x) /x ) * (2x/sin(2x) ) *1/2 = 1/2

a presto

in base agli archi associati, cotg(TT/2 - x ) = tgx , quindi abbiamo:

cotg(2x) tg(x) = cos(2x) sen(x) / sen(2x) cos(x) =

= cos(2x) sen(x) / 2 sen(x) cos(x) cos(x) =

= cos(2x) / 2 cos^2 x

poichè cos (0) = 1 , abbiamo :

lim [ cos(2x) / 2 cos^2 x ] = 1/2

x----> 0