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Salve,

lim {[2^(x² - 4) + 4^(x - 2) - 2] /(x³ - 8)} =

x→2

si tratta di una forma indeterminata 0/0; ritengo utile spezzare il numeratore (scomponendo il - 2 in - 1 - 1) nel seguente modo:

lim { {[2^(x² - 4) - 1] + [4^(x - 2) - 1]} /(x³ - 8)} =

x→2

scomponiamo inoltre il denominatore come differenza di cubi:

lim { {[2^(x² - 4) - 1] + [4^(x - 2) - 1]} /(x³ - 2³)} =

x→2

lim { {[2^(x² - 4) - 1] + [4^(x - 2) - 1]} /[(x - 2)(x² + 2x + 2²)]} =

x→2

lim { {[2^(x² - 4) - 1] + [4^(x - 2) - 1]} /[(x - 2)(x² + 2x + 4)]} =

x→2

riscriviamo questo come:

lim { [1 /(x² + 2x + 4)] { {[2^(x² - 4) - 1] + [4^(x - 2) - 1]} /(x - 2)} } =

x→2

(distribuendo)

lim { [1 /(x² + 2x + 4)] { {[2^(x² - 4) - 1] /(x - 2)} + {[4^(x - 2) - 1] /(x - 2)} } } =

x→2

moltiplichiamo numeratore e denominatore del termine [2^(x² - 4) - 1] /(x - 2) per (x + 2) (ottenendo così x² - 4 al denominatore):

lim { [1 /(x² + 2x + 4)] {(x + 2)[2^(x² - 4) - 1] /[(x + 2)(x - 2)]} + {[4^(x - 2) -

x→2

1] /(x - 2)} } =

lim { [1 /(x² + 2x + 4)] {(x + 2){[2^(x² - 4) - 1] /(x² - 4)} + {[4^(x - 2) - 1] /(x -

x→2

2)} } =

notiamo ora che [2^(x² - 4) - 1] /(x² - 4) e [4^(x - 2) - 1] /(x - 2), per x tendente a 2, sono limiti notevoli del tipo lim {[(a^t) - 1] /t} = ln a:

................. ................... ................... ......t→0

lim {[2^(x² - 4) - 1] /(x² - 4)} = ln 2

x→2

(se poniamo x² - 4 = t, al tendere di x a 2, t tende a zero)

lim [4^(x - 2) - 1] /(x - 2) = ln 4

x→2

(se poniamo x - 2 = t, al tendere di x a 2, t tende a zero)

quindi, facendo tendere x a 2, il limite diviene:

lim { {1 /[(→2)² + 2(→2) + 4]} {[(→2) + 2](→ln 2) + (→ln 4)} } =

x→2

[1 /(4 + 4 + 4)] [(2 + 2) ln 2 + ln 4] =

(trasformando ln 4 in ln 2 per la proprietà dei logaritmi log (aⁿ) = n log a)

(1/12) [4 ln 2 + ln (2²)] =

(1/12)(4 ln 2 + 2 ln 2) =

(1/12) 6 ln 2 =

(1/2) ln 2 =

(per le proprietà dei logaritmi)

ln [2^(1/2)] =

ln (√2)

spero di essere stato di aiuto

Ciao

ottima la risposta di germano.

piu' spiccia la risoluzione applicando Hopital...

lim x->2 [ 2x ln2 *2^(x²-4) +2 ln2 *2^(2x-4)] / (3x²)

=2ln2/ 3 * lim x->2 [x *2^(x²-4)+ 2^(2x-4) ]/x ²

= 2ln2/3 * 3/4

= ln2 /2

Non si dice "limite complicatuccio" ma "limite complicato".