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Correto "Morphlin", eu já tinha visto algo parecido usando esse artifício, na verdade toda questão têm infinitas formas de se resolver, o que torna a matemática fascinante ;)

√2×√√2×√√√2×√√√√2×...

Transformando os radicais em potências:

(2^1/2) x (2^1/4) x (2^1/8).......... =>

Base iguais, soma os expoentes:

2^(1/2 + 1/4 + 1/8....) =>

Expoente está em P.G infinita:

Achando a razão da P.G:

q = (1/4) / (1/2) =>

q = 1/4 * 2/1 =>

q = 2/4 =>

============

q = 1/2

============

Calculando a soma de uma P.G infinita, usando a fórmula:

S = a1/ (1 - q)

Onde q é razão.

S∞ = 1/2 / ( 1 - 1/2)

S∞ = 1/2 / ( 2 - 1/2)

S∞ = (1/2) / (1/2)

S∞ = 1/2 * 2/1

S∞ = 2*1/2*1

S∞ = 2/2

============

S∞ = 1

============

Portanto substituindo em:

2^(1/2 + 1/4 + 1/8....) =>

Temos que:

(1/2 + 1/4 + 1/8....) = 1

Portanto:

=============

2^1 = 2

=============

O Issac Newton e a Bruna já responderam corretamente, só queria mostrar outra forma de se resolver:

Chame:

√[ 2 .(√2.(√2...) ) ] = x

Eleve ao quadrado os dois lados da equação:

2. √[ 2 .(√2.(√2...) ) ] = x²

Veja que apareceu novamente √[ 2 .(√2.(√2...) ) ] = x. . . Substituindo:

2. x = x². . . . . . Resolvendo:

x² - 2x = 0

x(x - 2) = 0

x' = 0. . . . . . . . Descarte, não há como o produto ser zero.

x - 2 = 0. . . x = 2

Ou seja, √[ 2 .(√2.(√2...) ) ] = 2

* O truque de substituir foi possível, por se tratar de um produto com infinitos termos. Veja que elevando ao quadrado e aparecendo a expressão novamente, o produto continua sendo de infinitos termos.

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Com esse mesmo raciocínio, vc poderia resolver outras expressões do tipo:

√[ 2 + (√2...+ ( √2...) ) ]

* Sim, Isaac, mas nesse caso só conheço essas duas formas : / Abraçao ;)

^n = Elevado a n

(a²)⁴ = a⁸ (Multiplica-se os expoentes)

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√2 = 2^½

√√2 = (2^½)^½ ⇒ 2^¼

√√√2 = [(2^½)^½]^½ ⇒ 2^⅛

Produto: 2^½ . 2^¼ . 2^⅛ . (...) = 2^(½ + ¼ + ⅛ + ...)

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Como pode ver, os expoentes formam uma P.G

P.G (1/2, 1/4, 1/8, ...)

q = a₂ / a₁ ⇒ (1 / 4) / (1 / 2) ⇒ (1 / 4) . 2 ⇒ 1 / 2

0 < |q| < 1 ⇒ Soma infinita

Sn = a1 / (1 - q) =.

Sn = (1 / 2) / (1 - [1 / 2]) ⇒

Sn = (1 / 2) / (1 / 2) ⇒

Sn = 1

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P = 2^(½ + ¼ + ⅛ + ...) ⇒ Como descobrimos que ½ + ¼ + ⅛ + ... = 1 ⇒

P = 2¹ ⇒

P = 2

O produto dá 2

é 2, nao to de zoa so nao sei explicar