Ojo quien se le mide a esta Integral?
Ojo quien se le mide a esta Integral?
......dx
∫-------------------------
.(√x).(³√x)(1+ ³√x)²
Una persona que le guste hacer integrales, la he puesto y lo que saben decir es has tu tarea, yo la se hacer
maximas estrellitas
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∫ ∮ ∯ √ ∛ ∜ ¶ π ← → ⇒ ∀ ∃ ∄ ∇ ∂ ∑ ∞ µ ß € № % ‰ §
⁺⁻º ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ª ⁿ ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿•
± ∓ ≅ ≈ ≠ ≤ ≥ ≡ ≢ Я ¢ © ® ≪ ≫ ½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞
Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ ς τ υ φ χ ψ ω
↑ ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇓ ⇔ | ∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∏ ∠ ∧ ∨ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇
∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ ∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ
____________________
Hola! wsabalzanegrete. Sugiero comenzar aplicando la siguiente sustitución:
s² = ∛x
De donde:
x = s⁶ →
dx = 6 s⁵ ds
Entonces:
∫ dx / [ (√x) • (³√x) • (1 + ³√x)² ] =
= ∫ 6 s⁵ ds / [s³ • s² • (1 + s²)²] ⇒
∫ dx / [ (√x) • (³√x) • (1 + ³√x)² ] = 6 ∫ ds / (1 + s²)² ... ❶
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La integral así planteada se resuelve sencillamente advirtiendo que:
1 / (1 + s²)² = [(1+s²) - s²] / (1 + s²)² = [1 / (1+s²)] - [s² / (1+s²)²]
Entonces y volviendo a ❶:
= ∫ 6 ds / (1 + s²) - ∫ 6 s² ds / (1 + s²)² =
= 6 arctan(s) - 3 ∫ 2 s² ds / (1 + s²)² ... ❷
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La integral que vemos en ❷ se resuelve por partes así:
u = s → du = ds
dv = 2 s ds / (1 + s²)² → -1 / (1 + s²)
Entonces:
∫ 2 s² ds / (1 + s²)² = u•v - ∫ v du =
= - [s / (1 + s²)] + ∫ ds / (1 + s²) =
= - [s / (1 + s²)] + arctan(s)
Y llevando este resultado a ❷ tendremos:
∫ dx / [ (√x) • (³√x) • (1 + ³√x)² ] =
= 6 arctan(s) - 3 { - [s / (1 + s²)] + arctan(s) } =
= 6 arctan(s) + [3s / (1 + s²)] - 3 arctan(s) } =
= 3 arctan(s) + [3s / (1 + s²)]
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Finalmente volvemos a términos de "x":
∫ dx / [ (√x) • (³√x) • (1 + ³√x)² ] =
= 3 arctan[ x^(1/6) ] + [3 x^(1/6) / (1 + ∛x)] + C
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Saludos, Cacho.
...
Esta un tanto complicado de resolver pero te doy la solucion si de algo te es util, muchas veces la solucion da la pista de como operar la funcion para llegar al resultado, la idea creo es aplicar una descomposicion en fracciones racionales:
..................... dx
......... ∫-------------------------
.......... (√x) (³√x)(1+ ³√x)²
..f(x) = (3 raiz6( x) ) / ( 1 + ³√ x ).. + ..3 Arctan[ raiz6( x) ] + C
donde raiz6(x) = x^(1/6)
Espero sea de tu ayuda lo anterior
Saludos
3tan^(-1)(x^(1/6)) + (3(x^(1/6)) / (x^(1/3)) +1) + C