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v= l x a x h

pero como la base es cuadrada

v = a²h

2l + 2a + h = 108

pero como la base es cuadrada l=a

4a + h = 108

h= 108 - 4a

sustituyendo en la fórmula del volumen

v =a² (108-4a) = 108a² - 4a³

derivando

v´ = 216a - 12a²

igualando a cero para obtener los máximos y mínimos

12a² - 216 a = 0

12a(a - 18) = 0

12a = 0 a=0 {produce un mínimo}

a -18 = 0 a=18 {produce un máximo}

h = 108 - 4a

h = 108 - 4(18) = 108 - 72

h= 36

entonces los valores de la caja serían

largo de la base = 18"

ancho de la base = 18"

altura de la caja = 36"

lo que daría un volumen de 11664 pulg³

Según creo la caja será un prisma, si la longitud de un lado de la base es X y su altura Y.

Tendremos que el perímetro de la base es 4X.

Como el perímetro de la base y su altura no podrán pasar de 108, pues:

4X + Y = 108

Despejamos Y = 108 - 4X

Su volumen será YX² función a maximizar, sustituyendo Y por 108 - 4X.

(108 - 4X)X² = 108X² - 4X³

Derivamos repecto de X e igualamos a 0.

2 108 X - 4 3 X² = 216X - 12X² = 0

Sacamos factor común 12X y nos queda.

12X (18 - X) = 0

Es decir X es cero (no creo) o 18, el cálculo de Y es fácil sustituyendo arriba.