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Lola: Lo lamento, pero ésta es mi respuesta:

A es nilpotente de orden k, significa:

A^k = 0, la matriz nula,

de donde la expresión:

I + A + ... + A^(k - 1) + A^k = I + A + ... + A^(k - 1)

Ahora bien, si se multiplica esta expresión por I - A el resultado es:

(I - A)[I + A + ... + A^(k - 1)] =, por la propiedad distributiva:

I[I + A + ... + A^(k - 1)] - A[I + A + ... + A^(k - 1)]

I[I + A + ... + A^(k - 1)] = I + A + ... + A^(k - 1), pues la matriz I es la identidad para la multiplicación y, otra vez por la distributividad:

A[I + A + ... + A^(k - 1)] = A + A^2 + ... + A^(k - 1) + A^k,

lo cual es igual a:

A + A^2 + ... + A^(k - 1),

pues

A^k = 0,

se sigue que:

- [A[I + A + ... + A^(k - 1)]] = - A - A^2 - ... - A^(k - 1)

y

(I - A)[I + A + ... + A^(k - 1)] =

I + A + ... + A^(k - 1) - A - A^2 - ... - A^(k - 1) = I

De donde I + A + ... + A^(k - 1) es en efecto la inversa de I - A, al menos inversa a derecha, la prueba de que

[I + A + ... + A^(k - 1)](I - A)

también es igual a I es análoga y la dejamos al interesado.