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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:

cos^2 a = (1+cos 2a)/2

sen^2 a = (1-cos 2a)/2

En tu caso, a = 5x, entonces tienes:

cos^2 5x = (1+cos 10x)/2

sen^2 5x = (1-cos 10x)/2

Remplazando en el ejercicio:

---> (1+cos 10x)/2 - (1-cos 10x)/2 = cos10x

---> (1+cos 10x - 1 + cos 10x) /2 = cos 10x

---> (2cos 10x )/2 = cos 10x

---> cos 10x = cos 10x

Mira esta tabla de identidades, allí están;

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/recur...

Recuerda que: (cosc)^2-(senc)^2=cos2c, y si haces c=5x, entonces

(cos(5x))^2-(sen(5x))^2=cos2(5x)

(cos(5x))^2-(sen(5x))^2=cos10x

Espero te sirva. Recuerda solo Jesús salva.

La expresión que muestras sólo es válida para ciertos valores de x, no todos. Por ejemplo es válida si

x = 0, x = -pi, x = pi/2, x = pi, o para x = arccos[1/2 raiz[1/2 (5 + raiz[5])]] y hay más soluciones pero no es válida en general.

quizá la TABLA DE IDENTIDADES te ayude:

http://neoparaiso.com/imprimir/identidades-trigono...

Estimado amigo

cos²(5x) - sen²(5x) =

cambio de variable: 5x = α

= cos²(α) - sen²(α) =

la anterior es la identidad correspondiente al coseno del ángulo doble, por lo tanto:

= cos(2α) =

devolvemos el cambio de variable:

= cos(2(5x)) = cos(10x)

quedando entonces demostrado que:

cos²(5x) - sen²(5x) = cos(10x)

Espero haber podido ayudarte. Saludos cordiales desde Venezuela!