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Porque al calcular una integral definida obtienes un número ... dicho número se corresponde con el valor de área de la superficie bajo la curva de la función integrando f(x) , el eje de las x ( si estás integrando en la dirección dada por dx ) y los dos extremos de integración a y b ( abscisas )

Mientras que al calcular una integral indefinida obtienes una familia de curvas denominadas primitivas F(X) ( gráficas de funciones) que difieren todas ellas en una constante C ... y esa es la constante de integración .

Pos si la integral es, por decir algo:

F(x) + k entre los limites x(o) and x(i) al hacer los cálculos

I definida entre limites = F(xo) + k - F(xi) - k = F(xo) - F(xi)

c.q.d.

∫x² = x³/3 + k

10............10

∫ x² = [x²/3] = 1000/3 -(-125/3) = 333,33+41,67 = 375

-5..............-5

Espero que se entienda

Se conoce como Fórmula de Barrow.

La demostración es la siguiente:

Integremos la función f(X) entre a y x.

Int (f(X); entre a y x) = F(x) + C, siendo C una constante (por el teorema fundamental del cálculo integral dos primitivas difieren en una constante).

Para determinar cuánto vale C, hacemos x=a; lo que reduce el área a cero y queda:

0 = F(a) + C --> C = -F(a)

o sea: Int (f(X); entre a y x) = F(x) - F(a)

haciendo ahora x = b se obtiene:

Int (f(X); entre a y b) = F(b) - F(a) (* Fórmula de Barrow *)

La integral definida, como su nombre indica está definida, ya que es un area, esto significa que sólo tiene una solución definida, y por eso no tiene ningún grado de indeterminación.

La integral indefinida, cuando tiene solución, no tiene solución única, tiene infinitas soluciones, a ca solución le denominamos primitiva, y toidas juntas (esto es infinitas funciones distintas por una constante) se le llama integral indefinida.

Porque la función esta definida exactamente dentro de los limites establecidos.