Problema interesantee!!! 10 Pts. y 5 *!!?
Calcular el área rectangular máxima que puede encerrarse con un alambre de 400 metros de longitud... Expliquen el procedimiento gracias...
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Hola !! Es un problema de optimización (aplicaciones de la derivada)
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x
Tenemos 400 m de alambre. Entonces
2x + 2y = 400 ===> x + y = 200 ===> y = 200 - x
El área es
A = x·y
Para que A quede como función de una sola variable, reemplazamos "y" por (200 - x)
A = x·(200 - x)
A = 200x - x²
Hay que buscar el máximo valor de la función área A. Calculamos la derivada y la igualamos a cero para obtener el punto crítico.
A' = 200 - 2x
200 - 2x = 0
200 = 2x
100 = x (punto crítico)
Hallamos la derivada segunda y la evaluamos en el punto crítico para determinar si es un máximo.
A' ' = -2
A' ' (100) = - 2 < 0 ===> En x = 100 la función A tiene un máximo
El área máxima se obtiene reemplazando x por 100 en la fórmula A = 200x - x²
A = 200·100 - (100)² = 10 000
RESPUESTA. El área máxima que puede encerrarse es de 10 000 m²
Un saludo!!
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a= lado mayor
b = lado menor
A= area de un rectangulo = aâb
perimetro = 2a+2b = 400
a = (400 - 2b)/2 = 200 - b sustituyendo a en la formula de el Area
A = aâb = (200 - b)âb
A = 200b - b2 tenemos que A es una funcion de b
A=f(b) = 200b - b2 Amax es cuando la derivada de f(b) = cero (cuando la derivada , la pendiente de la curva es cero , cuando es ¨horizontal¨ )
A´= derivada (f(b) = 200 -2b = 0
200 = 2b
b = 200 /2 = 100
A max es cundo b = 100 y a = 200 -b = 100
ó sea cuando es un cuadrado no un rectangulo
A = aâb
A = 100 * 100 = 10 000 m2
El área máxima se consigue siempre con polÃgonos regulares.
Por eso, para que el área sea máxima todos los lados deben ser iguales
En un rectángulo la S = b.h se hace máxima cuando b = h :: S = b.b = h.h
Eso se puede dar solo cuando b = h
Entonces como b + h = 200 y además b = h tendrás 2b = 200 :: b = 100
La respuesta es un cuadrado de 100 por 100 = 10.000m2
Confirmemos la cifra mediante el cálculo diferencial.
Para encontrar un máximo la primera derivada es 0 y la segunda de signo negativo
Un lado de tu rectángulo es x, el otro 200 - x porque 2x = 400 - 2x
La superficie desconocida Y = x . (200 - x) = 200x - x2 = -x2 + 200x
Primera derivada y ´= -2x + 200 = 0 :: 2x = 200 :: x = 100
Segunda derivada y´´¨= -2 signo negativo.
El lado x es 100 :: 2.x = 200; como x = 100 quedan 200m, eso dividido 2 = 100
La figura es un cuadrado cuyos lados valen 100 y el área es 100 x 100 = 10.000 m2
NO TE OLVIDES DE CALIFICAR ESTA RESPUESTA
Este problema se puede resolver por derivación para optimizar el area, necesitamos las ecuaciones del perimetro y del area que son:
P=400=2x+2y, donde x es la base y y es la altura...
A=x*y, area de un rectángulo... ecuación a maximizar
debemos escribir la ecuación en térinos de una sola variable para derivar más facil, para esto despejamos una incognita le la ecuación de perÃmetro (ejemplo y) y la reemplazamos en la ecuación del area, asi:
y=(400-2x)/2=200-x entonces; A=x*(200-x)=200x-x^2
Luego derivamos e igualamos a 0 para hallar la medida x para la cual el area es máxima:
A´=200-2x=0 entonces: x=100m, luego reemplazamos este valor de x en la ecuación donde despejamos y previamente y obtenemos el valos de y que da 100m también, lo que quiere decir que el area rectangular máxima de 400m de perÃmetro es el cuadrado de 100m en cada lado... suerte!
resumiendo todas las otras preguntas:
100 de lado por 100 de lado= 10.000m²
aunque no seria un rectangulo pero bueno...
el área de un cuadrado de 100m*100m=10000m² perÃmetro 400m
entre mayor sea la diferencia entre un lado y el otro menor será el área
x*x=x²
(x+1)(x-1)=x²-1
(x+2)(x-2)=x²-4
(x+3)(x-9=x²-9