Considerare un triangolo equilatero come un tavolo da biliardo e nel cui centro geometrico si piazza una pallina assimilabile ad un punto. Individuare la funzione f(n) per cui con un angolo alpha(n) si imbuca la palla in uno dei vertici del triangolo dopo esattamente n rimbalzi sulle pareti.
Nei rimbalzi sulle pareti la pallina segue le regole dell'ottica geometrica, ossia angolo di incidenza=angolo di riflessione.
In poche parole con un angolo alpha(0) la imbuco dopo 0 rimbalzi sulla parete, ossia lanciando la pallina direttamente nel vertice, con un angolo alpha(1) la imbuco dopo 1 rimbalzo, ossia lanciandola perpendicolarmente ad un lato, insomma scegliete il sistema di riferimento che preferite per la misura degli angoli (preferibilmente calcolati in gradi sessagesimali) e provate a cercare la funzione, se volete potete distinguere tra n pari e n dispari. Io non ci sono ancora riuscito e dubito qualcuno di voi ci riuscirà.
Update:@Rodolfo Non ti preoccupare, quello di exProf può essere un approccio, ma ce ne sono anche di più semplici, credo
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Ho ideato una procedura risolutiva che è piuttosto semplice dal punto di vista geometrico, ma che sembra piuttosto caotica da calcolare.
Sapendo fin d'ora che già ci vuole un bel po' a narrare la procedura risolutiva, e che la procedura di calcolo supererebbe la mia pazienza disponibile, espongo l'idea e poi lascio ad altri il merito di attuarla.
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<*> PREMESSE <*>
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A) Il sistema di riferimento che preferisco ha
* il centro del triangolo equilatero nell'origine O(0, 0),
* il triangolo inscritto nel cerchio unitario (lato L = √3),
* i vertici in {A(- 1, 0), B(1/2, - √3/2), C(1/2, √3/2)}.
Vedi il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle+%28-...
B) Le rette dei lati e le loro normali generiche (di parametro q) sono
* AB (- 1 <= x <= 1/2) ≡ y = - (x + 1)/√3; ≡ y = + (√3)*x + q;
* AC (- 1 <= x <= 1/2) ≡ y = + (x + 1)/√3; ≡ y = - (√3)*x + q;
* BC (- 1/√3 <= y <= 1/√3) ≡ x = 1/2; ≡ y = q.
C) Per simmetria, basta considerare la buca in A in cui mandare la bilia posta in O: per le buche in B e in C si ruotano i risultati ottenuti per A.
Nel riferimento detto, i due risultati dati come esempio [α(r) = angolo(rimbalzi)], sono
* α(0) = π
* α(1) = 0
(in radianti; la prevedibile caoticità del sistema mi sconsiglia i °: se mai si dovessero fare interpolazioni, preferisco una misura continua ad una in [gradi °, primi', secondi'']).
Per cercare i valori di α per r > 1, penso che convenga affrontare un problema doppiamente inverso e, se si riesce a risolverlo, reinvertire i risultati: porre la buca in O e la bilia in A e, per ogni angolo di lancio φ [- π/6 < φ < π/6], contare il numero r di rimbalzi prima della buca.
L'angolo α(r) è quello dell'ultimo segmento di traiettoria prima della buca.
D) Il calcolo di un generico rimbalzo su un lato t (con t in {AB, AC, BC}), data la retta r della traiettoria incidente, è in pochi passi.
D1) Trovare il punto d'incidenza T come intersezione t & r.
D2) Particolarizzare la normale a t, trovando per quale q passa da T, nella retta p.
D3) Calcolare la retta s della traiettoria riflessa, come la corrispondente di t nella simmetria assiale di asse p.
D4) Se s è priva di termine noto (y = m*x, passa dall'origine), allora la sua pendenza m è la tangente della funzione.
Se R è il contatore di rimbalzi, la procedura termina col risultato: α(R) = arctg(m).
D5) Se invece s ha termine noto (y = m*x + n, non passa dall'origine), allora occorre
D5a) incrementare il contatore di rimbalzi R
D5b) individuare su quale lato (segmento, non retta) avverrà il prossimo rimbalzo per reiterarvi la procedura [D1 ... D5], con s al posto di r.
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<*> IDEA RISOLUTIVA <*>
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E' il modo in cui s'insegna a tirare di sponda agli apprendisti giocatori di biliardo.
Costruire per fasce successive, a destra del lato BC, una tassellatura che iteri il triangolo ABC per riflessione intorno ai lati.
Occorre iterare solo quei pochi triangoli i cui centri (immagini dell'origine) siano congiungibili al vertice A con un segmento che intersechi BC.
Nella prima fascia ci sono tre triangoli, nella seconda cinque, e così via.
Esclusi i centri giacenti sull'asse x, nello strato n° k ci sono 2*k immagini O' di O.
Ogni segmento OO' è utile a calcolare una procedura D ed a generare una coppia (R, α(R)).
RIFERIMENTO per la SIMMETRIA ASSIALE e la RIFLESSIONE
Vedi il paragrafo "Equazione della simmetria assiale" al link
http://www.webfract.it/FRATTALI/lineari9.htm
Lo sai che Y!A ti dà 3 punti se scegli una "Miglior risposta"? Se puoi, scegli questa!
v. http://www.yanswersblogit.com/b4/2010/01/08/evita_...
bel problema... l'ora è tarda e non credo di riuscire a darti una risposta completa, però ti dico l'unica cosa che mi è venuta in mente: esistono degli angoli per cui tale funzione, per n che tende a infinito (ovviamente un infinito positivo), ha come punti di accumulazione proprio i tre vertici. Buonanotte! :)
Adesso non so darti una risposta.
Metto questa "falsa" risposta per fermare il problema sulle "mie attività "
Senz'altro non riuscirò a trovare la f(n) analitica, ma voglio provarci graficamente.
Ciao
Ho provato a risolverlo graficamente.
Sono entrato per chiedere chiarimenti su qualche punto del problema che non capisco ma, vista l'ipotesi dell'ex prof, ha capito che la cosa va molto al di là delle mie conoscenze.
Getto la spugna.
Auguri
Ciao