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Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre especifico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.

Suponte que tienes una función f:A ---> B.

Decimos que es inyectiva si para todos x,y en A con x distinto de y, se cumple f(x) distinto de f(y), es decir, si no hay dos elementos que tengan la misma imagen.

Decimos que es suprayectiva, o sobreyectiva, o sobre, si para todo b en B existe un a en A tal que f(a)=b, es decir, todos los elementos del conjunto de llegada son imagen de algun elemento del conjunto de partida.

Decirmos que es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Ahora, para los ejemplos,

a) Función inyectiva pero no sobre:

f(x) = log(x), porque si x distinto de y, log(x) distinto de log(y), pero no es sobre porque no existe x tal que log(x) = -5, por ejemplo.

b) Sobreyectiva pero no inyectiva:

f(x)=x^3-x, porque si k es un número real, siempre existe x tal que x^3-x = k, pero no es inyectiva porque f(1) = f(0) = 0.

c) Biyectiva:

f(x)=3x, justifícalo.

d) Ni sobre ni inyectiva

f(x)=sin(x), justifícalo.