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Supongo que quieres preguntar qué es un dominio de integridad.

a) Un divisor de cero en un anillo es un elemento x no cero tal que existe otro no cero que verifica xy=0.

Por ejemplo, es muy sencillo demostrar que las horas del reloj con las operaciones suma:

4 + 11 = 3 ( si a las 4 le sumas 11 horas son las 3)

7 + 9 = 4 ( si a las 7 le sumas 9 horas son las 4)

etc

y el producto

3•6 = 6 ( si sumas 6 + 6 + 6 son las 6)

4•5 = 8 ( si sumas 4+4+4+4+4 son las 8)

es un anillo.

En él se verifica que 4•3 = 0 (las 4+4+4 = 0 horas) sin que sean cero ni el 4 ni el 3. En este anillo, el 4 y el 3 son divisores cero.

b) Un anillo es dominio de integridad si no tiene divisores de cero. Así que las horas del reloj, con las operaciones que hemos dicho, no son un dominio de integridad

Si construyes las tablas de sumar y multiplicar de un anillo finito, si no es dominio de integridad habrá ceros dentro de la tabla de multiplicar distintos de la fila o columna cero y si es dominio de integridad no habrá ceros más que en la fila o columna cero. Por ejemplo, si las horas del reloj fuesen solamente 3 en vez de 12, la tabla de multiplicar sería:

x | 1 2 0

-----------

1 | 1 2 0

2 | 2 1 0

0 | 0 0 0

luego es dominio de integridad

Pero si fuesen cuatro sería:

x | 1 2 3 0

-------------

1 | 1 2 3 0

2 | 2 0 2 0

3 | 3 2 1 0

0 | 0 0 0 0

Y el cero correspondiente a 2•2 nos indica que no es dominio de integridad.

Puedes probar que si el reloj tuviese 5 horas es dominio de integridad, pero no lo es si fuesen 6.

Para que tengas un ejemplo, muy fácil, de anillo que no es dominio de integridad, pero que no es finito como los anteriores piensa en este:

Considera Z x Z. Las operaciones son

(a,b)+(c,d) = (a+c, b+d)

(a,b)•(c,d) = (ac, bd)

Es muy fácil ver que es anillo. El cero es (0,0)

Pero no es dominio de integridad pues podemos encontrar, por ejemplo, (3,0) • (0, 44) = (0.0) sin que sea cero alguno de los factores.

2. No sé bien a qué te refieres. No sé si a divisores de cero por la izquierda y por la derecha o a múltiplos. De todos modos estamos acostumbrados a manejar anillos conmutativos, pero si el anillo no lo es, hay que hablar de múltiplos por la derecha o por la izquierda Algébre, Godement, pág 149)