Es reflexiva, pues existe el cero tal que x + 0 = x
Es antisimétrica pues si existe k tal que x + k = y, y existe k' tal que y + k' = x, sustituyendo
k + k' = 0, k = k' = 0, luego x=y
Es transitiva pues si existe k tal que x + k = y, y existe k' tal que y + k' = z, sumando ambas
x + k + y + k' = y + z
x + (k + k') = z, luego x R z.
Por ejemplo la relación "divide a" en N es también un orden (la demostración es muy parecida)
Pero en el primer caso, cualesquiera dos números naturales están relacionados mientras que ello no ocurre en el segundo caso ( por ejemplo, dados los números 2, 3 ni 2 divide a 3 ni 3 divide a 2. Por eso se dice que el primero orden es total y el segundo es parcial.
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Imagínate los alumnos de una clase en fila para entrar en el comedor. Es un orden total, pues dado dos alumnos cualesquiera se sabe cuál de ellos es anterior. Pero si los mismos alumnos lo hacen en dos filas (por ejemplo una de alumnos y otra de alumnas) el orden es parcial, pues elegidos dos alumnos de la clase que estén en filas distintas, no se puede decir cuál de ellos es el anterior.
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Una relación R en A es de orden si es
Reflexiva, x R x para todo x de A
Antisimétrica: si X R y & y R x , entonces x = y
Transitiva: si x R y & y R z, entonces x R z
Por ejemplo en N (incluido el cero) definimos
x R y sii existe k tal que x+k=y
Es reflexiva, pues existe el cero tal que x + 0 = x
Es antisimétrica pues si existe k tal que x + k = y, y existe k' tal que y + k' = x, sustituyendo
k + k' = 0, k = k' = 0, luego x=y
Es transitiva pues si existe k tal que x + k = y, y existe k' tal que y + k' = z, sumando ambas
x + k + y + k' = y + z
x + (k + k') = z, luego x R z.
Por ejemplo la relación "divide a" en N es también un orden (la demostración es muy parecida)
Pero en el primer caso, cualesquiera dos números naturales están relacionados mientras que ello no ocurre en el segundo caso ( por ejemplo, dados los números 2, 3 ni 2 divide a 3 ni 3 divide a 2. Por eso se dice que el primero orden es total y el segundo es parcial.
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Imagínate los alumnos de una clase en fila para entrar en el comedor. Es un orden total, pues dado dos alumnos cualesquiera se sabe cuál de ellos es anterior. Pero si los mismos alumnos lo hacen en dos filas (por ejemplo una de alumnos y otra de alumnas) el orden es parcial, pues elegidos dos alumnos de la clase que estén en filas distintas, no se puede decir cuál de ellos es el anterior.