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es exactamente como te dijo unborracho...

お誕生日おめでとうございます es una forma formal de decir feliz cumpleaños en cambio 誕生日おめでとう es mas cusual...

pero en estos tiempos muchos japoneses usan la exprecion en ingles katakanisada de... "happy birthday!" =ハッピー バースデイ ！

y si esq se canta las "mañanitas" lo hacen en un ingles adaptado a su lenguaje por ejemplo: ハッピー バースデイツユ、ハッピー バースデイツユ、ハッピー バースデイ（nombre）, ハッピー バースデイツユ

*supuse q sabes leer katakana

pues las 2 son correctas y las 2 dicen lo mismo la diferencia no la se pero da igual en las dos

Ya te respondió un borracho - y como dice siegfried los japos ya solo usan la versión gringa de Happy birthday (aunque con su particular forma de pronunciar el inglés).

La versión "otanjoobi omedetoo" es para japos muy conservadores o para alumnos de japonés (^_^)

Salu2

誕生日おめでとう (sin "goh-zah-ih-mah-suh"):-

Puede decirselas a sus amigos, a una persona quien es mas joven que usted etc.

(informal)

お誕生日おめでとうございます (otanjōbi omedetō gozaimasu):-

Se las debimos decir a persona quien es mas mayor que usted, a la quien es en una posicio'n mas alta que usted.

(formal)