Nella piccola città di Opiccolo, c'è una popolazione di x persone tutte perfettamente sane. Una brutta mattina d'inverno, però, per cause ancora sconosciute, inizia una pestilenza nella città. Ogni mattina, nel freddo mattutino della campagna, essendo indebolite le difese immunitarie, metà della popolazione sana alla fine del giorno precedente se ne ammala. Il pomeriggio, di tutte le persone ammalate accumulate nei giorni precedenti e nello stesso il 25% riesce a guarire, un altro 25% rimane malato e il 50% dei malati muore. Si trovi una formula (va benone una successione definita ricorsivamente) per esprimere il numero di cittadini sani dopo n giorni.
Update:Io avrei gia trovato una specie di successione:
Posto a1= x/2
a2= 1/2[a1+1/4(a1)]
a3=1/2[a2+1/4[a2+a1/4]
an=1/2[an-1+1/4[an-1+an-2+an-3+++a1/4]
Pero non ne sono perfettamente convinto ...
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In realtà, quel problema ["comparso" in una interessante pagina facebook] richiede
il numero di persone sane alla FINE dell'[;n;]-esimo giorno (sotto tali condizioni).
Dopo qualche semplice considerazione sono arrivata alla seguente conclusione:
[; \begin{cases} a_1 = \frac{5}{8}x\,, \\ a_2 = \frac{27}{40}a_1\,, \\ a_n = \frac{1}{8}\left( 7\,a_{n-1}-a_{n-2} \right) \; \; \; \forall\, n\ge 3\,. \end{cases} ;]
Se poi siamo interessati a passare da tale successione definita per ricorrenza
ad una funzione che dati in ingresso [;x;] ed [;n;] ci fornisca in output il numero delle
persone sane alla fine dell'[;n;]-esimo giorno, allora è sufficiente interrogare ... ...
WolframAlpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=RSolve%5B+%7B...
A questo punto, nel caso particolare in cui [;x=4096;] ed [;n=4;], il numero
di persone sane a fine di tale giornata è pari a [;827;]. :-)
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Per fruire della mia risposta scritta in TeX : http://it.answers.yahoo.com/activity?show=PFvx96de...
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