Verified answer

bueno primero que nada vamos a partir de lo

siguiente:

1 + x^5= (1 - x + x^2 - x^3 + x^4)(1 + x)

no podemos factorizar esa ecuación de 4º por simple

inspección pero si podemos resolverla por el método

de Euler así podemos hacer lo siguiente:

x^4 - x^3 + x^2 - x+1

X=Y+1/4

(Y + 1/4)^4 - (Y + 1/4)^3 + (Y + 1/4)^2 - Y - 1/4 +

1

(Y^2 + Y/2 + 1/16)^2 - (Y^3 + 3Y^2/4 + 3Y/16 + 1/64)

+ Y^2 + Y/2 + 1/16-y + 3/4

Y^4 + Y^2/4 + 1/256 + Y^3 + Y^2/8 + Y/16 - Y^3 -

3Y^2/4 - 3Y/16 - 1/64

+ Y^2 - Y/2 + 13/16

Y^4 + 5Y^2/8 - 5Y/8 + 205/256

(X^2 + AX + B)(X^2 - AX + C)

X^4 + (B + C - A^2)X^2 + (AC - AB)X + BC

B + C - A^2 = 5/8...ec1

AC - AB=-5/8...ec2

BC = 205/256....ec3

A(C - B)= - 5/8

C - B= - 5/8A ...ec2

B + C=5/8 + A^2...ec1

elevando al cuadrado ec1 y ec2

C^2 - 2BC + B^2=25/64A^2 ...ec2

C^2 + 2BC + B^2=25/64 + 5A^2/4 + A^4...ec1

multiplicamos por -1 ec2

-C^2 + 2BC - B^2 = -25/64A^2 ...ec2

C^2 + 2BC + B^2 = 25/64 + 5A^2/4 + A^4...ec1

--------------------------------------

4BC = -25/64A^2 + 25/64 + 5A^2/4 + A^4

y como BC=205/256

205/64=-25/64A^2 + 25/64 + 5A^2/4 + A^4

multiplicando toda la ecuación por 64A^2

205A^2 = -25 + 25A^2 + 90A^4 + 64A^6

64A^6 + 90A^4 - 180A^2 - 25=0

podemos hacer E=A^2 quedando:

64E^3 + 90E^2 - 180E - 25=0

para resolver la ecuación cúbica podemos ocupar el

método de Cardano y Tartaglia

hacer:

E=F-1/17280

quedando:

64(F - 1/17280)^3 + 90(F - 1/17280)^2 - 180(F -

1/17280)-25=0

64F^3 - 90F^2 + F/1555200 - 1/80621568000 + 90F^2 -

F/96 + 1/298598400 - 180F + 1/96 + 25=0

64F^3 - 279952199F/1555200 +

2016379008269/80621568000

haciendo F= G+H

64(G + H)^3 - 279952199(G + H) /1555200 +

2016379008269/80621568000

64(G^3 + 3G^2 H + 3GH^2 + H^3)- 279952199(G +

H)/1555200 + 2016379008269/80621568000=0

64G^3+64H^3 +192GH(G+H)- 279952199(G + H)/1555200 +

2016379008269/80621568000=0

64G^3+64H^3+ 2016379008269/80621568000 +(G + H)(

192GH- 279952199/1555200)=0

de lo que podemos hacer

64G^3+64H^3+ 2016379008269/80621568000 =0

y

192GH- 279952199/1555200=0

despejando G

G=279952199/298598400H

sustituyendo G en la otra ecuación

64(279952199/298598400H)^3 + 64H^3+

2016379008269/80621568000 =0

1404208583938347688533542336 /

26623333280885243904000000 H^3 + 64H^3+

2016379008269/80621568000 =0

si multiplicamos todo por H^3 nos queda

1404208583938347688533542336 /

26623333280885243904000000 + 64H^6+

2016379008269/80621568000 H^3 =0

podemos hacer I=H^3 y nos quedaría

1404208583938347688533542336 /

26623333280885243904000000 + 64I^2+

2016379008269/80621568000 I =0

que sería una cuadrática que podrías resolver por

método Gral

Bueno como podrás ver si puedes factorizar pero te

dejo de tarea que hagas las sustituiciones para que

encuentres los valores

podemos decir que

1+X^5= (1+X)(L+X)(M+X)(N+X)(Ñ+X)

dependiendo si en las sustituciones no te sale un

número imaginario

en fin siendo así entonces podrías resolver por

fracciones Parciales es decir hacer:

1/(1+X^5)=P/(1+X)+Q/(L+X)+R/(M+X)+S/(N+X)+T/(Ñ+X)

y finalmente integras como dV/V=ln V+ c.

una vez que hayas encontrado los valores te quedara:

1/20{-2raiz[10-2raiz(5)]} arc tg {[-4x+raiz(5) + 1] / raiz[10-2raiz(5)]} +2raiz[10+2raiz(5)]} arc tg {[4x+raiz(5) - 1] / raiz[10+2raiz(5)]} + 4 ln(x+1) +(raiz(5)-1) ln { X^2 + (1/2)(raiz(5)-1) x + 1} + (raiz(5)+1) ln { X^2-(1/2)(raiz(5)+1)x + 1} + c.

Saludos

mm...fácil!... visita este link..jahjah

(así o más práctica?..jejej)

hola

las raices son las raíces quintas de -1

x^5 +1 = (x+1 ) (x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)

= (x+1) ( x^2 + ((-1 + √5)/2) x + 1)( x^2 + ((-1 - √5)/2) x + 1)

De aquí , tenemos que averiguar

la descomposición en fracciones parciales

y esto nos da ...

una combinación de

ln (x+1)

ln ( x^2 + ((-1 + √5)/2) x + 1)

ln ( x^2 + ((-1 - √5)/2) x + 1)

y arcos tangentes variadas ...

ver link

saludos