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I  = ∫ ( 1 - Cos^2 ( 2 t ) ) Sen 2t dt / .√( Cos2t )

I = - 1 / 2 . ∫[ ( 1 - Cos^2 (2 t) )( - Sen 2t 2dt ) ] / .√( Cos2t )

Luego realizamos un cambio de variable tal que :

u = Cos 2t ..................... du = - 2. Sen 2t dt

De donde I :

I = - 1 / 2 . ∫ [ ( 1 - u^2 ) d u ] / . u^1/2

I = - 1 / 2 . ∫ [ u ^ ( - 1 / 2 ) - u ^ ( 3 / 2 ) ] d u

I = - u ^ ( 1 / 2 ) + 1 / 5. u ^ ( 5 / 2 ) + C

Finalmente reemplazando en la variable original tenemos :

I = - [ Cos 2t ] ^ ( 1 / 2 ) + 1 / 5. [ Cos 2t ] ^ ( 5 / 2 ) + C

.................................................................. Respuesta

∫Sen³2t / √(Cos2t) dt

=∫Sen2t(Sen²2t) / √(Cos2t) dt

=∫Sen2t(1-Cos²2t) / √(Cos2t) dt

=∫Sen2t / √(Cos2t) dt - ∫Sen2t √(Cos2t)³ dt

Hacemos:

u=Cos2t

du=-2Sen2t dt

-du/2=Sen2t dt

Reemplazamos:

=∫Sen2t / √(Cos2t) dt - ∫Sen2t √(Cos2t)³ dt

=-1/2∫ du/ √u + 1/2 ∫√u³ du

=-√u + 1/5√u^5 + C

=-√(Cos2t) + 1/5√(Cos2t)^5 + C

Espero te sirva. Bye.

Cambio: Cos2t = h^2

-Sen2t . 2 . dt = 2h.dh

Sen2t . dt = -h.dh

dt = -h.dh / Sen2t

(Sen2t)^3 = Sen2t . (Sen2t)^2 = Sen2t . (1-(Cos2t)^2) =

= Sen2t . (1 - h^4)

Sen2t . (1-h^4) . dt / h = (1-h^4)/h . Sen2t . dt =

= (1-h^4)/h . (-h).dh = (h^4 - 1) . dh

Integral_de { (h^4-1) . dh } = h^5/5 - h = h . (h^4/5 - 1) =

= Raiz(Cos2t) .[ (Cos2t)^2 / 5 - 1 ] + cte

.

Recordemos esta identidad trigonométrica:

seno al cuadrado de x + coseno al cuadrado de X = 1

despejando... seno al cuadrado de x = 1 - coseno cuadrado de x

Connvertimos U = cos2t

de donde dU = -sen2t.2dT

En la ecuación queda:

∫ (1 - U´2). dU/2 √U

descomponiendo el numerador:

∫ dU/2 √U - ∫ (U´2)dU/2 √U

de donde sale: √U/4 - 5 √(U´5)/4

recuerda que U = cos 2t... reemplaza de nuevo y listo

A ver si sale,

Paso 0) Primer cambio de variable 2t = u => dt = du / 2

Paso 1) reducir los factores

numerador:

sen^3 (2t) dt = sen^3 (u) du / 2 = sen^2 (u) * sen (u) du / 2

= [1 - cos^2(u) ] * sen (u) du / 2

denominador

√ (cos 2t) = √ cos(u)

Paso 2) Segundo cambio de variable: cos(u) = y => sen(u) du = - d (cos(u)) = - dy

Paso 3) Integral dividida en dos para la variable y.

Integral = - ∫ 1/ [2*√(y)] dy + ∫ y^(3/2)/ 2 dy

y el paso final te lo dejo a ti. Seguro ya sabes hacerla,

Saludos

que tipo de integrales son????

integrales inmediatas

integrales por sustitución

integrales varias