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∫ ∮ ∯ √ ∛ ∜ ¶ π ← → ⇒ ∀ ∃ ∄ ∇ ∂ ∑ ∞ µ ß € № % ‰ §

⁻¹ º ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ª ⁿ ₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ❶❷❸❹❺❻❼❽❾❿•

± ∓ ≅ ≈ ≠ ≤ ≥ ≡ ≢ Я ¢ © ® ≪ ≫ ½ ⅓ ⅔ ¼ ¾ ⅛ ⅜ ⅝ ⅞

Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ ς τ υ φ χ ψ ω

↑ ↓ ↔ ↵ ⇐ ⇑ ⇓ ⇔ | ∅ ∈ ∉ ∋ ∝ ∏ ∠ ∧ ∨ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇

∴ ∵ ∼ € ¥ ⊤ ⊥ ∧¬ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ

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Hola! Amigo, un gusto saludarte.

Convendrá resolver por partes la siguiente integral que utilizaremos -más adelante- como resultado auxiliar:

∫ 2 x² dx / (1 + x²)²

Tomemos:

u = x → du = dx

dv = 2x dx / (1+x²)² → v = -1/(1+x²)

Entonces:

∫ 2 x² dx / (1 + x²)² = u v - ∫ v du = -x/(1+x²) + ∫ dx / (1+x²) ⇒

∫ 2 x² dx / (1 + x²)² = arctan(x) - [x / (1+x²)] ... ❶

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Si multiplicamos -ahora- numerador y denominador de

(x²-1)/(1 + x-²)²

por "x ⁴" quedará:

(x²-1)/(1 + x-²)² = (x⁶ - x⁴) / (1 + x²)²

Y desarrollando el cociente indicado tendremos:

(x²-1)/(1 + x-²)² = x² - 3 + (5x² + 3)/(1 + x²)²

Pero como: "5x² + 3 = 3 (x² + 1) + 2x²", lo anterior quedará:

(x² - 1) / (1 + x-²)² = x² - 3 + [3/(1+x²)] + [2x²/(1 + x²)²]

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Integremos término a término:

∫ x² dx = ⅓ x³

∫ 3 dx = 3 x

∫ 3 dx / (1+x²) = 3 arctan(x)

∫ 2 x² dx / (1 + x²)² = [de ❶] = arctan(x) - [x / (1+x²)]

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Finalmente será:

∫ (x² - 1) dx / (1 + x-²)² = ⅓ x³ - 3x + 4 arctan(x) - [x / (1+x²)] + C

Espero te haya sido útil.

Saludos, Cacho.

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