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Hola,

∫ [x² /³√(1 + 2x)] dx =

pongamos:

³√(1 + 2x) = u

luego:

1 + 2x = u³

2x = u³ - 1

x = (1/2)(u³ - 1)

dx = (1/2) 3u² du = (3/2)u² du

sustituyendo, obtenemos:

∫ [x² /³√(1 + 2x)] dx = ∫ {[(1/2)(u³ - 1)]² /u} (3/2)u² du =

(simplificando)

∫ [(1/2)(u³ - 1)]² (3/2)u du =

∫ (1/4)(u³ - 1)² (3/2)u du =

(desarrollando)

∫ (1/4)(u⁶ - 2u³ + 1) (3/2)u du =

∫ (3/8)u (u⁶ - 2u³ + 1) du =

∫ [(3/8)u⁷ - (3/4)u⁴ + (3/8)u] du =

(partiendo en tres integrales y sacando las constantes)

(3/8) ∫ u⁷ - (3/4) ∫ u⁴ du + (3/8) ∫ u du =

(3/8) [1/(7+1)] u^(7+1) - (3/4) [1/(4+1)] u^(4+1) + (3/8) [1/(1+1)] u^(1+1) + C =

(3/8)(1/8)u⁸ - (3/4)(1/5)u⁵ + (3/8)(1/2)u² + C =

(3/64)u⁸ - (3/20)u⁵ + (3/16)u² + C =

(15u⁸ - 48u⁵ + 60u²)/320 =

(sacando 3u²)

[3u² (5u⁶ - 16u³ + 20)]/320 =

(3/320)u² (5u⁶ - 16u³ + 20)

sustituyamos de nuevo ³√(1 + 2x) a u:

(3/320) ³√(1 + 2x)² [5 ³√(1 + 2x)⁶ - 16 ³√(1 + 2x)³ + 20] + C =

(3/320) ³√(1 + 2x)² [5(1 + 2x)² - 16(1 + 2x) + 20] + C =

(3/320) ³√(1 + 2x)² [5(1 + 4x + 4x²) - 16 - 32x + 20] + C =

(3/320) ³√(1 + 2x)² (5 + 20x + 20x² - 32x + 4) + C =

concluyendo con:

(3/320)(20x² - 12x + 9) ³√(1 + 2x)² + C

espero que sea de ayuda

¡Saludos!

en esta pagina escribe la funcion y el teda el resultado y el procedimiento

a mi me ha ayudado mucho

http://www.wolframalpha.com/

tienes que hacerlo por integracion por partes o sustitucion, te vas a demorar un poco pero al final debe salirte 3(2x+1)^(4/3)*(56x^2-24x+9)/1120

integracion por partes ∫udv=uv- ∫vdu