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sea circunferencia centro O

extremos del arco Ay B

f=PQ segmento de flecha (con magnitud f)

punto interseccion P de la flecha con el segmento AB (perpendiculares)

α=<AOB

luego:

<AOP=<POB=α/2

como ∆OAP es rectangulo

luego

<OAP=π/2-α/2

tb notese que el ∆OAQ es isoceles con lados iguales OA y OQ por lo tanto

<OAQ=(π-α/2)/2

y como

<OAP=π/2-α/2

<PAQ=<OAQ-<OAP

luego:

<PAQ=(π-α/2)/2-π/2+α/2=α/4

por otro lado:

del ∆PAQ se tiene: tg(α/4)= PQ/AP= f/AP ... (1)

por trigonometria se sabe tb

tg(α/4)= √([1-cos(α/2)]/[1+cos(α/2]) ... (2)

luego (1)=(2) queda la siguiente igualdad

f/AP = √([1-cos(α/2)]/[1+cos(α/2)]) ... (3)

por pitagoras aplicado al ∆OAP se sabe

AP= √(OA²-OP²)

pero OA=r y OP=OQ-PQ=r-f

luego

AP= √(r²-(r-f)²) =√(2rf-f²) ...(4)

por trigonometria aplicado al ∆OAP se sabe

cos(α/2)=OP/OA= (r-f)/r ...(5)

luego:

reemplazando (4) y (5) en (3) se obtendra una igualdad

donde apareceran solamente los argumentos r y f

donde r es el radio de la circunferencia y f es la flecha

la cual afortunadamente conocemos

desarrollando este reemplazo se puede llegar a la siguiente expresion:

ok mira arquea el arco a su circunferencia media es decir lograr hacer una semi cirnferencia luego mide esa semi circenferencia de punta a punta y dicho resultado lo multiplicas por Pi 3.1416 te dara l. a. circunferencia y el radio es l. a. midad de lo que medistes de punta a punta ok igual te dara el centro de l. a. circunferencia y te sirve como punto para cualquier vertice o angulo ok desees en dicho circulo.saludes

La verdad es que te has comlicado la vida mucho, por regla general es mas facil medir la cuerda(distancia entre extremos del arco), que el arco en si, entonces la fórmula sería esta:

R= (c² + 4s²)/ 8s÷ donde c=cuerda; s=sagita.

Angulo= (360-4arctg(c/2s)

Longitud del arco = R* Angulo.

Como tu has medido la longitud del arco y la sagita, pues utiliza estas fórmulas a ver si eres capaz de calcular R y Angulo, lo veo dificil.

El siguiente análisis se basará en la gráfica que te he dejado en http://img403.imageshack.us/img403/3176/demo177yc9...

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La longitud del arco de circunferencia (S) se relaciona con el radio (R) y con el ángulo (Ø) del siguiente modo: S = R Ø --->

R = S/Ø (i)

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Llamando "d" a la flecha, vemos que: R = h + d --->

h = R - d (ii)

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Aplicando trigonometría vemos que: cos(Ø/2) = h/R --->

h = R.cos(Ø/2) (iii)

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Igualando (ii) y (iii) quedará: R - d = R.cos(Ø/2)

Recordando que: cos(Ø/2) = 1 - 2.sen²(Ø/4), la expresión anterior quedará: 2.R.sen²(Ø/4) = d ---> [de (i)] --->

2.S.sen²(Ø/4) = Ø.d (iv)

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La expresión (iv) permite obtener el ángulo "Ø" en función del arco de circunferencia (S) y de la flecha (d).

Sin embargo, como (iv) no tiene una solución analítica, debe resolverse mediante métodos numéricos.

Saludos

...

No se si esta solución te va a servir, porque voy a usar varios resultados de geometría “elemental”, pero también trigonometría. Tienes que saber de trigonometría para entender esto.

Para empezar, la figura formada por la cuerda y el arco menor que abarca dentro de una circunferencia se llama “segmento circular”

En concreto los resultados de geometría elemental que usaré son los que se refieren a ángulos inscritos en la circunferencia y a ángulos centrales, y la relación entre un ángulo central y el incrito que abarca el mismo arco. También debes saber que el arco se mide, en radianes, por el ángulo central que lo comprende.

En cuanto a la trigonometría, he usado las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo, es decir, seno, coseno y tangente, sus definiciones y también la de las razones trigonométricas inversas, arcoseno, arcocoseno y arcotangente.

Si no te acuerdas de esto, tendrás que repasarlo. Si no lo has estudiado todavía, ahora es el momento de hacerlo. (utiliza por ejemplo la wikipedia, o busca en internet en general.)

Otra dificultad es que no puedo introducir gráficos en los razonamientos, porque técnicamente no sé. Con lo programas que tengo no logro introducir una imagen en la respuesta que te envío.

No te puedo dibujar el gráfico, así que te lo describiré.

He llamado h a la altura máxima, l a la longitud de la cuerda. Estas dos magnitudes las conozco.

He llamado r a la longitud del radio. No lo conozco, el radio r. La altura máxima es un segmento del radio, de manera que h<r.

Así que hay que dibujar una circunferencia con un cierto radio, digamos 4 cm y pinto un diametro. Perpendicular a ese diámetro, que me imagino dibujado en el papel en dirección vertical, a cierta distancia del centro, me la imagino hacia arriba, digamos dos centímetros hacia arriba, dibujo una cuerda.

He llamado A y B a los extremos de la cuerda, O al centro de la circunferencia, C al punto donde el diámetro corta a la circunferencia “en la parte de arriba”. D es el punto donde la cuerda corta al diámetro que tengo dibujado, perpendicular a ella. Llamo E al punto diametralmente opuesto a C (“abajo”)

Tienes que tener señalados correctamente esos puntos en tu dibujo, porque ahora vamos a razonar sobre este dibujo. Si has podido hacerlo, la cosa va bien, pero si estás confuso o el gráfico te sale contradictorio, entonces vuelve atrás e inténtalo de nuevo.

Ahora traza en el dibujo la cuerda CB y el radio OB. Dibuja también el radio OA.

Fíjate en el ángulo central AOB. Si lo hallo, habré hallado la longitud del arco.

Pero si conozco el ángulo central COB conoceré AOB porque AOB es el doble de COB

AOB = 2COB

Ahora, me percato de que el ángulo central EOB es el suplementario de COB. Se cumple que, en radianes, EOB = pi – COB (pi representa a la letra griega que se lee pi y que interviene en la fómula: circunferencia = 2*pi*radio. Recuerda que pi radianes son 180º)

Así que voy a hallar EOB

EOB es un ángulo central que abarca el mismo arco que el ángulo inscrito ECB.

Por tanto, EOB = 2ECB

Voy a hallar ECB. Ese ángulo forma parte del triángulo rectángulo CDB (con angulo recto en D)

Es el mismo ángulo ECB que DCB.

Hasta ahora sólo ha intervenido la geometría “elemental”

Ahora es cuando entra en juego la trigonometría. Sabemos eso porque ya hemos topado con un triángulo rectángulo, CDB, con ángulo recto en D.

La trigonometría nos permitirá hallar el ángulo DCB. Lo puede hacer fácilmente porque en el triángulo CDB conocemos DC = h y conocemos DB = l/2 (la mitad de l, o sea, la mitad de la longitud de la cuerda). Como tangente = cateto opuesto/ cateto contiguo, se cumple

tan (DCB) = (l/2)/h = l/(2h). Esto quiere decir que ya sabemos el ángulo DCB

DCB = arctan(l/(2h))

¡Ya hemos resuelto el problema!

Sólo queda recorrer el camino hacia atrás:

ECB = DCB =arctan(l/(2h))

EOB= 2 ECB =2arctan(l/(2h))

COB = pi – EOB =pi – 2arctan(l/(2h))

AOB = 2 COB = 2(pi - arctan(l/2h)))

La relación entre AOB y la longitud del arco que abarca está dada por la fórmula:

ARCO = ÁNGULO CENTRAL X RADIO

Longitud arco ACB = 2r(pi – arctan(l/(2h)))

donde r=radio circunferencia, l = longitud de la cuerda, h = altura máxima del segmento circular.

Pero analizando la solución nos damos cuenta de que depende de r, el radio de la circunferencia.

Si cuando hicimos la figura usamos un compas y tuvimos que realizar varios intentos ya nos habríamos dado cuenta de que con radios diferentes se obtienen arcos diferentes, aún siendo los mismos la cuerda y la altura.

Por tanto podemos hallar la longitud del arco sabiendo la longitud de la cuerda – base del segmento circular, la de su altura máxima y el radio de la circunferencia.

POSDATA:

Estaba yo equivocado, en realidad puede hallarse el radio con sólo un “Pitágoras”

El “Pitágoras” se aplica en el triángulo ODC que es rectángulo en D y del que sabemos que

OD= r-h y que DC = l/2 (estos son los catetos) y la hipotenusa es el radio, justo lo que busco OB

Por tanto (r-h)^2+(l/2)^2 = r^2

Se desarrolla, se reunen los términos con r y se despeja