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No, no siempre.

Considera las matrices:

[1 0] = A

[0 0]

y

[0 0] = B

[0 1]

Det(A) = 0

Det(B) = 0

Det(A)+Det(B)=0

Det(A+ B) = 1.

No se cumple: ej

A =

1 2

3 4

B=

5 6

7 8

A+B =

1+5 2+6

3+7 8+4

6 8

10 12

Det (A)= 4-6=-2 det(B)=40-42=-2 det(A+B) 72- 80= -8

De ser un teorema deberia ser siempre verdadero. y -2 es distinto de -8

.,-

Si, por ser aplicación de la propiedad disociativa de la suma.

Considere matrices A y B de nxn en un anillo conmutativo.

PD: det(AB)=det(A)det(B)

Sea B una matriz fija, y sea D una funcion definida como sigue:

D(A)=det(AB)

Si tuviera dos renglones iguales en A, al multiplicarlo por B nos queda que AB tendra los mismos dos renglones iguales. Entonces: A tiene 2 renglones iguales => AB tiene 2 renglones iguales => det(AB) sea cero

por lo tanto D(A) es cero si A tuvo dos renglones iguales, entonces D es una funcion ALTERNANTE.

Ahora, si tomo mi matriz A, dejo variar el renglon i-esimo, y dejo fijos los demas, entonces el producto AB tendra los mismos renglones fijos y el mismo renglon que varia, entonces, como el determinante es n-lineal, la funcion D(A) tambien es N-LINEAL

Ahora definamos F(A)=det(A)det(B) (Recordemos que B es una matriz Fija)

Vemos que F(A) es n-lineal y alternante gracias a que el determinante lo es.

Recordemos que la unicidad de una funcion n-lineal alternante esta dada por su valor en la identidad.

Entonces notamos que

D(I)=det(IB)=1det(B)=det(I)det(B)=F(I)

Por lo tanto D(A)=F(A) y det(AB)=det(A)det(B)

es un copy