¿suma de numeros complejos con la formula de euler?

May 2021 1 36 Report

¿suma de numeros complejos con la formula de euler?

Tengo que hallar A y B q pertenecen a los reales, para Z=1+i sea raiz de z^5+Az^3+b=0.

si alguien sabe o algun link expliquen como sumar (a+bi) elevado a una potencia con otro numero similar. Desde ya muchas gracias!

Ciencias y matemáticas / Matemáticas

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Argos

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A la hora de trabajar con potencias de numeros complejos, lo mas recomendable es utilizar la forma exponencial (o "de Euler"). Recordemos que un numero "z" complejo puede ser expresado de diferentes formas:

z = a + i.b → Forma canonica (donde "a,b" son reales)

z = ρ.( Cos[θ] + i.Sen[θ] ) → Forma polar (o trigonometrica)

z = ρ.e^[i.θ] → Forma exponencial (o de Euler)

donde 0≤ρ, θ∈[0,2π), i² = -1. Las relaciones para pasar de una forma a la otra estan dadas por:

ρ = √(a²+b²)

Tg[θ] = a/b

¿Por que es mas simple trabajar en forma exponencial a la hora de usar potencias? Fijate que z^[α] en las tres representaciones seria:

z^[α] = (a+ib)^[α]

z^[α] = ρ^[α].( Cos[θ] + i.Sen[θ] )^[α]

z^[α] = ρ^[α].e^[i.θ.α]

En las dos primeras, siempre queda la potencia de una suma (tanto de reales, como de funciones trigonometricas). En la ultima, al tener solo un producto y una exponencial, simplemente elevamos a la potencia el radio "ρ" y multiplicamos a nuestra variable angular "θ" por el exponente. Asi entonces:

z⁵ = ρ⁵.e^[i.5θ]

z³ = ρ³.e^[i.3θ]

Luego, la expresion z⁵ + A.z³ + B=0, con "A,B"∈ℝ queda:

ρ⁵.e^[i.5θ] + A.ρ³.e^[i.3θ] + B

Veamos como escribir z=1+i en esta notacion (es decir a=1, b=1). Usando las relaciones mecionadas:

ρ = √(1²+1²) = √2

Tg[θ] = 1/1 = 1

⇒ θ = π/4

Es decir z=1+i escrito en esta notacion queda como z= √2.e^[i.π/4]. Evaluando entonces en la ecuacion:

(√2)⁵.e^[i.5π/4] + A.(√2)³.e^[i.3π/4] + B=0

Podemos pasar a notacion trigonometrica para poder diferenciar la parte real de la imaginaria:

(√2)⁵. ( Cos[5π/4] + i.Sen[5π/4] ) + A.(√2)³.( Cos[3π/4] + i.Sen[3π/4] ) + B=0