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Supongo que te refieres al cilindro.

El volumen de todos los prismas se obtiene multiplicando el área de la base por la altura. Para el caso del cilindro, como sus bases son circunferencias, tenemos:

> V = π·r²·h

Donde r es el radio y h la altura del cilindro.

Para el caso del área, es cuestión de desarmar el cilindro y sumar el área de las superficies que quedan: dos circunferencias y un rectángulo. El área de las circunferencias es π·r² y como son dos, entonces 2·π·r² y el rectángulo tiene base igual al perímetro de los círculos, por lo tanto es 2·π·r y altura igual a la altura del cilindro:

> A = 2·π·r² + 2·π·r = 2·π·r ( 1 + r )

Para el caso de un barril, en donde los laterales no son perfectamente rectos, habrá que buscar la función que determina este volumen e integra, como dice Nemigo.

Espero que te sirva; un saludo!

si tienes la curva que define el perfil (y la altura) por integración puedes calcular el volumen