¿Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 30 grados con la horizontal y al llegar al borde queda?
Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 30 grados con la horizontal y al llegar al borde queda en libertad con una velocidad de 10 m/s. La altura desde el borde del tejado es 60 m y la anchura de la calle es 30 m. Calcular:
a) La ecuación de la trayectoria descrita por la pelota.
b) ¿Caerá al suelo o chocará con la pared opuesta?
c) Situación de la pelota en el instante en que su velocidad forma un ángulo de 45 grados con la horizontal. (g=10 m/s^2). NOTA: El sistema de referencia se ha tomado con origen en el punto de salida (borde del tejado) y eje horizontal positivo hacia abajo.
Las soluciones son:
a) y=(x*raiz(3))/3 + x^2/15
b) Cae al suelo
c) x=3.17 m; y=2.50 m
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a) Vamos a colocar el origen de nuestro sistema de referencia en el "punto de lanzamiento" (borde del tejado) y nuestro sentido positivo del eye y hacia abajo (la gravedad g será entonces positiva)
Movimiento horizontal (eje x)
ax = 0 (MRU)
vx = vo cos 30 = cte = 10 cos 30 = 5 raiz (3)
x = vo cos 30 · t = 5 raiz(3) · t
nota: raiz(3) es la raiz cuadrada de 3
Movimiento vertical (eje y)
ay = g (MRUA) = 10
nota: tomo g = 10 m/s^2
vy = vo sen 30 + g · t = 10 sen 30 + 10 t = 5 + 10 t
y = vo sen 30 · t + (1/2) · g · t^2 = 10·sen 30 · t + (1/2)·10·t^2 = 5 t + 5 t^2
de la ecuacion de x despejamos t = x / (5 raiz(3))
sustituimos este tiempo en la ecuacion de la "y":
y = 5 x / (5 raiz3) + 5 [x / (5 raiz(3))]^2
y = x / raiz(3) + x^2 / 15, es decir y = [ x·raiz(3) ] / 3 + [ x^2 ] / 15
b) Supongamos que x = 30 (anchura de la calle) y veamos el valor de y para este valor de x
y (x=30) = [ 30·raiz(3) ] / 3 + [ 30^2 ] / 15 = 77,32 m que es mayor que los 60 m de la altura del edificio, por lo que caerá al suelo.
Si quieres calculamos dónde impacta: para ello hacemos y = 60 y calculamos el valor de x (que saldrá < 30 m)
60 = [ x·raiz(3) ] / 3 + [ x^2 ] / 15, de donde si resolvemos la ecuación sale x = 26 m
c) En esta situación tg 45º = vy / vx = (5 + 10 t) / (5 raiz (3)) = 1
de donde t = 0,37 s. En dicho instante:
x = 5 raiz(3) · 0,37 = 3,17 m
y = 5 · 0,37 + 5 · 0,37^2 = 2,5 m
X= v x cos 30 x t Y = v xsen 30 x t + 1/2 x g x t^2 60= 5 x t + 5 x t^2 t= 3 sg X= 25.98 m cae al suelo c) tg 45= vy/ vx 1= 5+ 10 t/8.6602 t=0.37 sg X=3.20 Y=2.53 se acerca