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1. METODO DE IGUALACION

El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

1.

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2.

Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

3.

Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la elección de la incógnita que queremos despejar, así como sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.

A continuación, vamos a resolver el mismo ejercicio de la sección anterior mediante el método de igualación. Recordamos el enunciado del ejercicio, así como el sistema de ecuaciones al que daba lugar su planteamiento:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600

y = 2x

Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:

y = 2x

⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200

y = 600 - x

Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

y = 2x ⇒ y = 400

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución.

2. Metodo de sustitucion

Antes de centrarnos en el método de sustitución, vamos a hablar de algunas generalidades sobre la resolución de los sistemas de ecuaciones. En primer lugar, hay que saber que, en realidad, resolver adecuadamente un sistema es un proceso que consta de dos fases: discusión y resolución. La discusión consiste en clasificar el sistema según el esquema visto en la sección anterior, es decir, analizar si el sistema tiene o no solución y, en caso de tenerla, cuántas soluciones. Por otro lado, para la resolución, una vez comprobado que el sistema tiene solución, se utilizará uno de los métodos que en esta Unidad se describen.

En principio, por tanto, la discusión es un proceso anterior al de resolución. Ahora bien, estas fases sólo se realizan en ese orden cuando se utilizan métodos para la resolución de los sistemas distintos de los que veremos en este nivel y que, por tanto, quedan fuera del ámbito de este curso. Por ello, en este momento, ambos procesos, la discusión y la resolución del sistema, se harán de manera simultánea.

En cuanto a la resolución, los métodos que veremos en esta Unidad, que no son todos como ha quedado indicado más arriba, se dividen en dos grupos: métodos analíticos y método gráfico. Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión) del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la utilización de la equivalencia de sistemas, ya vista anteriormente, y simples operaciones aritméticas. Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres: sustitución, igualación y reducción. Por contra, el método gráfico (sólo hay uno), consiste, como su propio nombre indica) en resolver (y discutir) el sistema mediante la representación gráfica de sus ecuaciones.

De ahora en adelante, iremos viendo, uno por uno, los diferentes métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones y, al mismo tiempo, cómo, simultáneamente, se puede ir haciendo, en cada caso, la discusión del sistema. Vamos a empezar pues con el método de sustitución:

De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:

1.

Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.

2.

Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.

3.

Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.

Evidentemente, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Queremos decir que será más fácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que "no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones.

Hemos mencionado, en los párrafos anteriores, que, de manera simultánea, se puede ir haciendo la discusión del sistema. ¿Cómo?. Pues bien, si en el proceso de sustituir la incógnita despejada en el primer paso en la otra ecuación e intentar resolverla nos quedase una expresión del tipo "0 = 0", o "K = K", siendo K un número cualquiera (por ejemplo, 4 = 4), tendremos que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Esto se debe a que, en ese caso, una de las ecuaciones es múltiplo de la otra y el sistema quedaría reducido a una sola ecuación, con lo que habría infinitos pares de números (x, y) que la cumplirían. Este tipo de ecuación (0 = 0) se llama ecuación trivial.

Por otro lado, si la ecuación que nos resultase en el proceso anteriormente explicado fuera de la forma "K = 0", siendo K cualquier número distinto de 0, tendremos que el sistema es incompatible por lo que, en ese caso, no tiene solución. Esto es claro por la imposibilidad de la expresión aparecida. Este tipo de ecuación (K = 0) se llama ecuación degenerada. No habría, por tanto, ningún par de números (x, y) que cumplieran ambas ecuaciones del sistema.

Por último, si no nos encontramos, al resolver el sistema, ninguna de los tipos antes descritos de ecuaciones (triviales y degeneradas) y llegamos, al final de su resolución, a un valor para la incógnita x y a otro para la y, estos dos valores formarán el par (x, y) que nos da la solución del sistema y éste tendrá, por tanto una única solución y será un sistema compatible determinado.

Todas las aclaraciones de los párrafos anteriores sobre la discusión de los sistemas son válidas, no sólo para el método de sustitución, sino también para los otros dos métodos de tipo analítico, igualación y reducción, que veremos en las secciones siguientes.

Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema mediante el método de sustitución:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600

y = 2x

Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución, ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, ya despejada. Sustituimos el valor de y = 2x en la primera ecuación, con lo que tendremos:

x + 2x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200

Ahora sustituimos x = 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

y = 2x ⇒ y = 400

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros.

¡RAZONA!Escribe un sistema de dos ecuaciones que no tenga solución.

3. Metodo de reduccion

El último de los métodos analíticos que vamos a aprender a utilizar en esta Unidad para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas es el método de reducción. En resumen, consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos el proceso por fases.

1.

Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,

2.

Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.

3.

Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

4.

Para este paso hay dos opciones:

1.

Se repite el proceso con la otra incógnita.

2.

Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

De nuevo es evidente que todas las aclaraciones hechas en la sección del método de sustitución sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.

Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los métodos anteriores resuelto por el método de reducción:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600

2x - y = 0

Vamos a resolver el sistema por el método de reducción. Para ello, teniendo en cuenta que, en ambas ecuaciones, la y tiene coeficientes opuestos, podemos pasar a sumar directamente ambas y nos quedará:

3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200

A partir de este momento es cuando se pueden aplicar caulquiera de las dos posibilidades descritas más arriba. Como en secciones anteriores ya hemos resuelto esta parte del problema sustituyendo la x para despejar la y, vamos ahora a utilizar la otra posibilidad, es decir, vamos a terminar el ejercicio con la forma más pura posible de aplicación del método de reducción. Para ello, vamos a volver a aplicar el método para hallar la y sin tener que recurrir a ninguna sustitución.

Multiplicamos la primera ecuación por -2 y obtendremos el siguiente sistema, equivalente al inicial:

-2x - 2y = -1200

2x - y = 0

Si sumamos ambas ecuaciones de este sistema tendremos:

-3y = -1200 ⇒ y = 1200/3 ⇒ y = 400

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los métodos de sustitución e igualación.

En la próxima sección analizaremos el último método que nos queda por ver para resolver los sistemas de ecuaciones y que, además, es el único que no es analítico, sino gráfico.

sustitución

2x+y=3

x+7y=6

Despejamos una incognita o x o y, mejor si está sola sin ningún número.

x= 6-7y, como ya la tengo sola, elegí la x de la segunda ecuación, pues sustituyo en la primera ecoación x= lo que sea, pues lo que sea, quedaría:

2 (6-7y)+y=3 y entonces resuelves 12-14y+y =3; quedaría 13y=9 donde y es igual a 13/9 .

Igualación

Es igual pero despejas de las dos ecuaciones la misma incognita es decir si de una usas la y de la otra usas la x.

2x+y=3

x+7y=6

usaré la x y la despejo de las dos:

x= 3-y/2

x=6-7y

y ahora las igualas sin más, 3-y/2=6-7y

y en el de reducción tienes que restar cambiando el simbolo a la que más te interese

2x+y=3

x+7y=6

restamos la segunda (-2) x+7y=6

2x+y=3

-2x-14y=-12

te quedaría -13y=-12 si despejas la y

y= 12/13 espero que te sirva.

SUSTITUCION

pues se resuelven de la siguiente manera:

el metodo de sustitucion se vasa en despejar una de las incognitas como puede ser x o y(si es de dos variables):

ejm:

1)2x+y=8

2)3x+2y=4

cojes cualquiera de las ecuaciones y sustituyes por ejemplo la y:

y=1-2x

sustituyes esta "nueva" ecuacion en la (y) de la otra ecuacion:

3x+y=4

3x+(1-2x)=4 donde finalmente despejas:

3x-2x=4-1;x=3

se ha determinado el valor de x.

ahora tomas este resutado y lo sustityes en la (x) de la primera:

2x+y=8; como x=3

2(3)+y=8;

y=8-6

y=2

x=3; y=2

luego ya se ha resuelto el sistema por el metodo de sustitucion( siendo de dos incognitas x e y).

IGUALACION

el metodo de igualacion consiste en despejar cualquiera de las "dos" incognitas sean x e y, pero debe ser la misma incognita en las 2 ecuaciones:

1) 2x+y=6

2) 2x+2y=8

1) y=6-2x 2) y=(8-2x)/2

una ves hecho este despeje simplemente igualas:

como en las 2 ecuaciones se ha despejado la y, por lo tanto

y=y

y se sustituye las ecuaciones que antes despejamos

=6-2x=(8-2x)/2

como una ecuacion tiene un cociente, pues, como esta dividiendo pasan al otro lado multiplicando(por regla)

=2(6-2x)=8-2x

=12-4x=8-2x aqui se iguala a un lado los elementos con incognitas(x) y los numeros enteros:

=12-8=4x-2x

x=2

una vez hecho este procedimiento, sustituyes el valor de x en cualquiera de las ecuaciones de arriba

ejm:

y=6-2x

y=6-2(2)=2

y=2; x=2

REDUCCION

y finalmente para realizar metodo de reduccion conciste en realizar operaciones matematicas ( sumas y restas) entre las ecuaciones del sistema:

ejm:

x+y=4

2x+y=6

entonces conciste en igualar la incognita que quieres reducir a 0, por lo que empezaremos en este caso:

si queremos reducir x (ejm) igualaremos el mismo numero de x para que al operar sea 0, para lo cual multiplicaremos por 2 toda la 1ª ecuacion:

2 por (x+y=4) ; que seria 2x+2y=8

una vez igualada la incognita que quieres reducir a 0( de ahi el nombre reduccion), restas la segunda ecuacion a la primera(es decir a la que acabamos de igualar) :

2x+2y=8

-(2x+y=6) aqui cambia el signo de los componentes de toda ( es decir se convierte en -2x-y=-6)

obteniendo como resultado

=0+y=2

por lo tanto y=2

al igual que antes ahora sustituyes este valor en cualquiera de las ecuaciones propuestas:

ejm:

x+y=4

x=4-2

x=2

y de este modo se resuelve esl sistema.

Espero poder haberte ayudado aunque sea que te haya dado una idea.

El metodo de sustitucion como lo indica necesitamos despejar alguna variable y lo sustituimos en la otro ecuación

El metodo de igualacion necesitamos despejar la misma variable de ambas ecuaciones y luego igualarlas

El metodo de reducción se necesita multiplicar una de las ecuaciones de tal manera que al sumarlas se elimine una de las variables

EJEMPLO

5x+3y=13..........1

4x-y=7................2

SUSTITUCIÓN:

despejemos y en la ec. 2 y=4x-7..........3

sustituimos en la ec. 2

5x+3(4x-7)=13;

Resolvemos:

5x+12x-21=13; 17x=13+21; 17x=34;

por lo tanto x=2;

Ya teniendo el valor de x lo sustituimos en 3

y=4(2)-7 y entonces y=1;

REDUCCION

Tenemos que multiplicar ec. 2 por 3

5x+3y=13...................1

3(4x-y)=3(7)................2

Y sumamos

5x+3y=13

+ 12x-3y=21

=17x+0y=34 por lo tanto x=2;

hacemos lo mismo que en el metodo anterior para sacar el valor de y

IGUALACION

despejemos "y" de ec 1 y 2

5x+3y=13..........1

4x-y=7................2

y=(13-5x)/3 y=4x-7

igualamos ambas

[13-5x]/3=4x-7

Resolvemos

13-5x=3(4x-7), 13-5x=12x-21

-5x-12x=-21-13, -17x=-34, x=2;

sacamos y de la misma forma que las anteriores

Espero que te sirva

Revisa este link, allí puedes encontrar la información que necesitas:

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones

Suerte! DTB =)

A ver te refieres a ecuaciones con dos incognitas...

en sustitución

despejamos cualquiera de las dos incognitas en una de las ecuaciones y sutituimos su valor en laotra

pej.

x+7y=26 x=26-7y

2x+3y=19 osea que: 2(26-7y)+3y=19

efectuamos las operaciones correspondientes

52-14y+3y=19

-11y=19-52

-11y=-33

y=-33/-11

y=3

Por igualación

Despejamos cualquiera de las dos incognitas en ambas ecuaciones y luego se igualan entre si

Por reducción

se igualan los coeficientes de una de las incognitas y luego se suman o se restan segun convengan para eliminar una

IGUALACION: despejo de ambas la misma letra e igualo

ejemplo:

1/2x + 1/3y =7

2x + 3y= 43

1/3y=7-1/2x

y=(7-1/2x):3

y= 21-3/2x

3y=43-2x

y=43-2x (todo sobre 3)

y= 43/3 - 2/3x

igualo 21-3/2x = 43/3 - 2/3x

-3/2x + 2/3x = 43-21

- 5/6x= -20/3

x= -20/3 :(-5/6)

x= 8

REEMPLAZO

Y=21-3/2X

y= 21-3/2por8

y=21-12

y=9

AHORA TE EXPLICO EL RESTO, ES QE NO ME ENTRAN

mmmmmmm en esa prueva me saque un diez

pero lo q hize fue q puse en el buscador de google ,metodo de sustitucion

y ahi en la primera pagina q me aparecio

me lo explicaba paso a paso

te lo recomiendo

me re sirvio

ojala q t sirva a vos tambien

Heeeee??

El último de los métodos analíticos que vamos a aprender a utilizar en esta Unidad para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas es el método de reducción. En resumen, consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos el proceso por fases.

Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,

Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.

Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

Para este paso hay dos opciones:

Se repite el proceso con la otra incógnita.

Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

De nuevo es evidente que todas las aclaraciones hechas en la sección del método de sustitución sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.

Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los métodos anteriores resuelto por el método de reducción:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600

2x - y = 0

Vamos a resolver el sistema por el método de reducción. Para ello, teniendo en cuenta que, en ambas ecuaciones, la y tiene coeficientes opuestos, podemos pasar a sumar directamente ambas y nos quedará:

3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200

A partir de este momento es cuando se pueden aplicar caulquiera de las dos posibilidades descritas más arriba. Como en secciones anteriores ya hemos resuelto esta parte del problema sustituyendo la x para despejar la y, vamos ahora a utilizar la otra posibilidad, es decir, vamos a terminar el ejercicio con la forma más pura posible de aplicación del método de reducción. Para ello, vamos a volver a aplicar el método para hallar la y sin tener que recurrir a ninguna sustitución.

Multiplicamos la primera ecuación por -2 y obtendremos el siguiente sistema, equivalente al inicial:

-2x - 2y = -1200

2x - y = 0

Si sumamos ambas ecuaciones de este sistema tendremos:

-3y = -1200 ⇒ y = 1200/3 ⇒ y = 400

Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los métodos de sustitución e igualación.

En la próxima sección analizaremos el último método que nos queda por ver para resolver los sistemas de ecuaciones y que, además, es el único que no es analítico, sino gráfico.