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reescribámosla como:

∫ sen^6x senx dx =

∫ (sen²x)³ senx dx =

substituyamos sen²x con 1 - cos²x:

∫ (1 - cos²x)³ senx dx =

sea:

cosx = t

diferenciémos ambos miembros:

d(cosx) = t

- senx dx = dt

senx dx = - dt

luego, substituyendo:

∫ (1 - cos²x)³ senx dx = ∫ (1 - t²)³ (- dt) =

- ∫ (1 - t²)³ dt =

(desarrollando el cubo)

- ∫ (1 - 3t² + 3t^4 - t^6) dt =

partámosla llevando fuera las constantes:

- ∫ dt + 3 ∫ t² dt - 3 ∫ t^4 dt + ∫ t^6 dt =

- t + 3 [1/(2+1)] t^(2+1) - 3 [1/(4+1)] t^(4+1) + [1/(6+1)] t^(6+1) + C =

- t + 3(1/3)t³ - (3/5)t^5 + (1/7) t^7 + C =

- t + t³ - (3/5)t^5 + (1/7)t^7 + C

substituyamos de nuevo t = cosx, concluyendo con:

∫ sen^7x dx = - cosx + cos³x - (3/5)cos^5x + (1/7)cos^7x + C

espero que sea de ayuda...

¡Saludos!

∫ sen^7 x dx =

∫ sen^6 x . sen x dx =

∫ (sen^2 x)^3 . sen x dx =.....recordando que sen^2 x + cos^2 x = 1

∫ (1- cos^2 x)^3 . sen x dx =

aqui hacemos una sustitucion:

t = cos x

dt = -sen x dx

Entonces:

∫ (1- cos^2 x)^3 . sen x dx =

- ∫ (1 - t ^ 2 )^3 . dt =

desarrollando el cubo...

- ∫ (1 - 3 t ^ 2 + 3 t ^ 4 - t ^ 6 ) dt = .......super facil de integrar

- t + t ^3 - (3/5) t ^ 5 + (1/7) t ^7 + C

volviendo a sustituir

- cos x + cos ^3 x - (3/5) cos ^ 5 x + (1/7) cos ^7 x + C

Saludos!!!!!!

Esta integral es laboriosa pero se sugiere integrarla por partes tomando como u=sen^6x y dv = senxdx -> v = - cosx... ahora la forma general para resolver este tipo de integrales es esta http://img14.imageshack.us/img14/4034/dibujobr.png

donde, en tu caso reemplazas n=7 y resuelves.

PD: metodo de integracion por partes:

∫udv = u.v - ∫v.du

Salu2

> int(sin^7*x, x) =

(1/2)*(sin^7)*x^2

a ver, como puedes ver en el enlace adjunto

∫ sen^7 x dx = - 1/7 sen^6 x cos x + 6/7 ∫ sen^5 x dx =

= - 1/7 sen^6 x cos x - 6/7 · 1/5 sen^4 cos x + 6/7 · 4/5 ∫ sen^3 x dx =

= - 1/7 sen^6 x cos x - 6/35 sen^4 cos x - 24/35 · 1/3 sen^2 x cos x + 24/35 · 2/3 ∫ sen x dx =

= - 1/7 sen^6 x cos x - 6/35 sen^4 cos x - 8/35 sen^2 x cos x - 16/35 cos x + C

es -1/7 cos(7x) + C, donde "C" es una constante cualquiera,

salu2