Supongo que cuando dices una esfera inscrita en un cono te estás refiriendo a que la esfera está perfectamente inscrita y en ese caso el cono debe ser equilátero. El volumen del cono es:
Vc = 1/3 π Rc² h
Y el volumen de la esfera:
Ve = 4/3 π Re³
Pero en un cono equilátero, el centro de la esfera inscrita es el baricentro del triángulo equilátero sección. Y el baricentro del triángulo equilátero divide a la altura h en dos segmentos de 2/3 y 1/3. Justamente el segmento de 1/3 que es el que va desde el baricentro hasta la base del triángulo es el que se corresponde con el radio de la esfera. Por tanto:
Re = 1/3 h
Por otra parte, el radio de la base del cono es la mitad del lado del triángulo equilátero que se obtiene de la sección vertical del cono. Y como los lados de un triángulo equilátero son:
L = 2/√3 h
Rc = L/2 = h/√3
La relación entre el volumen del cono y de la esfera inscrita será:
Answers & Comments
Verified answer
Supongo que cuando dices una esfera inscrita en un cono te estás refiriendo a que la esfera está perfectamente inscrita y en ese caso el cono debe ser equilátero. El volumen del cono es:
Vc = 1/3 π Rc² h
Y el volumen de la esfera:
Ve = 4/3 π Re³
Pero en un cono equilátero, el centro de la esfera inscrita es el baricentro del triángulo equilátero sección. Y el baricentro del triángulo equilátero divide a la altura h en dos segmentos de 2/3 y 1/3. Justamente el segmento de 1/3 que es el que va desde el baricentro hasta la base del triángulo es el que se corresponde con el radio de la esfera. Por tanto:
Re = 1/3 h
Por otra parte, el radio de la base del cono es la mitad del lado del triángulo equilátero que se obtiene de la sección vertical del cono. Y como los lados de un triángulo equilátero son:
L = 2/√3 h
Rc = L/2 = h/√3
La relación entre el volumen del cono y de la esfera inscrita será:
Vc/Ve = (1/3 π Rc² h) / (4/3 π Re³) = ¼ Rc² h/Re³
Y sustituyendo los valores de los radios:
► Vc/Ve = ¼ (h/√3)² h/(1/3 h)³ = 9/4
Un saludo.