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FUNCIÓN INYECTIVA. Una función es inyectiva si a valores distintos de "x" les corresponden valores distintos de "y" (o sea, imágenes distintas)

EJEMPLOS.

❶ f(x) = x³ es inyectiva porque para valores distintos de "x" obtenemos siempre valores distintos de "y".

x = 1 ==> y = f(1) = 1³ = 1

x = 2 ==> y = f(2) = 2³ = 8

x = -1 ==> y = f(-1) = (-1)³ = -1

Por supuesto que probando solamente con algunos valores no es suficiente para asegurar que es inyectiva. Nos podemos valer de la gráfica de la función como veremos en la "prueba de la recta horizontal".

❷ f(x) = x² no es inyectiva porque hay valores distintos de "x" a los cuales les corresponde el mismo valor de "y"

x = 1 ==> y = f(1) = 1² = 1

x = -1 ==> y = f(-1) = (-1)² = 1

En este caso, sí es suficiente encontrar un par de valores de "x" que tienen la misma imagen, para asegurar que la función no es inyectiva.

PRUEBA DE LA RECTA HORIZONTAL. Es una prueba para determinar a partir de la gráfica, si la función es o no inyectiva. Dice así:

"Una función es inyectiva si cada vez que trazamos una recta horizontal, cortamos la gráfica de la función en un punto, como máximo".

Esto significa que si cortamos la gráfica dos o más veces, la función no es inyectiva.

Por ejemplo, la gráfica de f(x) = x³ (ver enlace) es una parábola cúbica y al trazar una horizontal, la cortamos siempre una sola vez. Por eso, esta función es inyectiva.

http://desmond.yfrog.com/Himg691/scaled.php?tn=0&s...

La gráfica de f(x) = x² (ver enlace) es una parábola y al trazar una horizontal, la cortamos dos veces. De allí, que esta función no es inyectiva.

http://desmond.yfrog.com/Himg412/scaled.php?tn=0&s...

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FUNCIÓN SOBREYECTIVA. Una función es sobreyectiva si el codominio y la imagen son iguales.

¿De dónde sacamos el codominio? Se conviene que Codom = ℝ (excepto que esté indicado)

Por lo tanto, para determinar si la función es sobreyectiva tenemos que averiguar si la imagen es o no ℝ (siempre que se suponga que el codominio es ℝ).

La imagen de la función se puede hallar de la fórmula (son los resultados que obtenemos al aplicarla) o también de la gráfica, proyectándola sobre el eje Y.

EJEMPLOS.

➊ f(x) = x²

Codom = ℝ

Imagen = ℝ⁺₀ (porque al elevar x al cuadrado, todos los resultados son positivos o cero)

Codom ≠ Imagen ====> La función no es sobreyectiva

➋ g(x) = 3x + 1

Codom = ℝ

Imagen = ℝ (la gráfica es una recta y proyectada sobre el eje Y, lo "cubre" por completo)

Codom = Imagen ====> La función no es sobreyectiva

➌ Veamos un ejemplo donde el codominio está indicado.

f: ℝ → ℝ⁺ | f(x) = 2^x (2 elevado a la "x", es una función exponencial)

Codom = ℝ⁺

Imagen = ℝ⁺ (los resultados son siempre positivos, cualquiera sea el valor de x)

Codom = Imagen ====> La función es sobreyectiva

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Un saludo!!

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