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me imágino que quieres conocer la antiderivada, es decir, ¿esa derivada de que función proviene?.

4

ƒ = ------------ dx

√ 2-3x

entonces tenémos que hallar f y esto se hace integrando, es decir:

∫ [ 4 / √ ( 2 - 3x ) ] dx ..... esto es igual a decir:

∫ [ 4 / ( 2 - 3x )^1/2 ] dx ..... ahora pasando el denominador al numerador:

∫ 4 [ ( 2 - 3x ) ^ - 1/2 ] dx ...... integrando por cambio de variable:

u = 2 - 3x

du = - 3 dx

4 ∫ u . du ...... 4 ( -1/3 ) ∫ [ ( 2 - 3x ) ^( - 1/2 + 1) / -1/2 + 1 ] [ -3 dx] ...... integrando:

- 4 / 3 [ (2-3x)^1/2 / 1/2 ] ............. - 4/3 [ 2 (2-3x)^1/2 ] ........ - 8/3 √(2-3x) + c

resultado: -8/3 √(2-3x) + c. Ahora para verificar si es correcto, derivamos:

f = -8/3 √( 2 - 3x ) + c

Ahora para comprobar si es correcto derivamos

d [ -8/3 √( 2 - 3x ) ] / dx .......

-8/3 [ d/dx ( 2 - 3x )^1/2 ] .....

-8/3 { [ 1/2 ( 2 - 3x ) ^-1/2 ] [ d/dx (2) - d/dx (3x) ] } ......

-8/3 { [ 1/2 ( 2 - 3x ) ^-1/2 ] [ 0 - 3 ] } ......

-8/3 { [ 1/2 ( 2 - 3x ) ^-1/2 ] [ - 3 ] } .....

-8/3 ( 1/2) (-3) [ ( 2 - 3x ) ^-1/2 ] .......

4 ( 2 - 3x ) ^-1/2 ..... eso es igual a:

4 / √2 - 3x

por lo tanto si es correcto!!!

espero haberte ayudado, suerte!

DTB

Esta sale por sustitución .Sea t=2-3x

dt=-3dx

Entonces -dt/3=dx

Luego,la función a integrar queda -4/3Vt,o equivalentemente,-(4/3)(t^(-1/2))

Esta es una función de las que están en tabla. La primitiva es -(4/3)(t^(1/2).2+C=-8/3Vt+C

Como empezamos con x,terminamos con x: las primitivas de la función son (-8/3)V(2-3x)+C.

De nada

..4

∫______dx =

.. ____

.√2 -3x

.. . 1

4 •âˆ«______ dx

... .. ____

.. ..√2 -3x

Aplicamos cambio de variable

u = 2 -3x

derivamos "u" respecto a "x"

du

__ = -3

dx

du = -3 dx

du

__ = dx

-3

ENtonces nos queda la siguiente integral

.. . 1 .. .-du

4 •âˆ«___ •___ =

... .. _

.. ..√u .. 3

Sacamos el factor -1 /3 afuera de la integral

.. ...1 .. du

4 • -_ •âˆ«___ =

.. .. .. .. ._

.... .3 ..√u

.4 .. du

-_ •âˆ«___ =

.3 ...u¹´²

.4

-_ •âˆ« u¯ ¹´² du =

.3

.4 . .u ¹´²

-_ •(_____ +c)

.3 .. .1 /2

.4u¹´² •2 /1 ..4c

-_________ -__ =

..3 ... .. ... .. .3

.8u¹´²..4c

-____ -__ =

..3 ... ..3

volviendo a la variable original:

.8(2 -3x)¹´²..4c

-________ -__ =

..3 ... ..... . .3

Cambiamos la constante -4c /3 por "C", otra constante arbitraria

..4

∫______dx =

.. ____

.√2 -3x

.. . 1

4 •âˆ«______ dx

... .. ____

.. ..√2 -3x

Aplicamos cambio de variable

u = 2 -3x

derivamos "u" respecto a "x"

du

__ = -3

dx

du = -3 dx

du

__ = dx

-3

ENtonces nos queda la siguiente integral

.. . 1 .. .-du

4 •âˆ«___ •___ =

... .. _

.. ..√u .. 3

Sacamos el factor -1 /3 afuera de la integral

.. ...1 .. du

4 • -_ •âˆ«___ =

.. .. .. .. ._

.... .3 ..√u

.4 .. du

-_ •âˆ«___ =

.3 ...u¹´²

.4

-_ •âˆ« u¯ ¹´² du =

.3

.4 . .u ¹´²

-_ •(_____ +c)

.3 .. .1 /2

.4u¹´² •2 /1 ..4c

-_________ -__ =

..3 ... .. ... .. .3

.8u¹´²..4c

-____ -__ =

..3 ... ..3

volviendo a la variable original:

.8(2 -3x)¹´²

-________ +C

..3

Saludos

PRUEBA CON EL CAMBIO: 2-3x= t ⇒-3dx=dt Es decir: dx= -dt/3

Sustituimos:

∫ (-4/3)dt/√t=(-4/3) ∫ dt/√t Integral que es inmediata,porque la puedes poner como la integral de t elevado a menos ½. Te lo dejo como ejercicio.

Saludos

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate++%2... (pincha en show steps)

Con el cambio 2-3x=t² --> -3·dx=2·t·dt

I= ∫ 4/√(2-3x) dx = ∫4/√t² · (-2/3·t) · dt = -8/3· ∫ dt = -8/3·t + C = -8/3· √(2-3x) + C

Saludos